3. Математические модели случайных сигналов

Математическая основа такой модели – это аппарат теории вероятности и теории случайных процессов. Семейство возможных реализаций y_i(t) подчиненных определенным вероятным характеристикам, образует случайный сигнал y(t).

а)

б)

Рис. 5.7. Случайные сигналы во временном сечении t₁:

а) сигнал Y₁(t), б) сигнал Y₂(t)

а)

б)

Рис. 5.8. Корреляционные функции случайных сигналов:

а) R₁(t) для сигнала Y₁(t), б) R₂(t) для сигнала Y₂(t)

Такими характеристиками могут быть закон распределения случайных величин или его числовые характеристики (математическое ожидание, среднеквадратичное отклонение) и корреляционная функция или спектральная плотность мощности сигнала.

Случайный сигнал Y(t) в некотором временном сечении t₁ (рис. 5.7.,5.8.)

Можно рассматривать как случайную величину Y(t₁), реализациями которой являются значения y_i(t_i). Для описания сигнала Y(t) в этот момент времени применим одномерный закон распределения F(y,t₁). Если этот закон не зависит от времени т.е.

F(y,t₁)=F(y,t₂)=F(y),

t₁≠t₂,

то такие сигналы являются стационарными (в широком смысле).

Закон распределения F(y) определяет пространственную по оси ординат структуру сигнала Y(t). Иногда вместо F(y) могут быть использованы его характеристики: математическое ожидание M(y) и среднее квадратичное отклонение σ_у. Описание Y(t) только законами распределения F(y) оказывается недостаточным, поскольку оно не характеризует изменение сигнала во времени.

Так, например, сигналы изображенные на рис.5.7,а и 5.7,б могут иметь одинаковые законы распределения, однако обладают разной динамикой изменения во времени.

Для оценки динамических свойств сигнала используют понятия корреляционной функции R(t). Для стационарных сигналов с математическим ожиданием равным нулю R(t) определяется математическим ожиданием произведения значения реализации y(t) в момент времени t и t+τ по формуле:

,

(5.11)

где N - число реализации случайного сигнала.

R(τ) характеризует статистическую связь между значениями случайных сигналов в различные моменты времени. Чем меньше значение корреляционной функции, тем меньше в среднем зависит значение сигнала y(t₁+τ) в момент времени t₁+τ от значения y(t₁) в момент времени t₁.

На рис. 5.8,а,б качественно изображены корреляционные функции R₁(τ) и R₂(τ) соответствующие сигналам Y₁(t) и Y₂(t). R₁(τ) относительно слабо затухает с увеличением τ, что говорит о сильной корреляции y(t₁) и y(t+τ), для функции Y₁(t) это отражается в относительно плавном изменении сигналов. Для функции Y₂(t) (рис. 5.7,б) свойственна слабая корреляция реализаций функции в интервале τ между моментами времени t₁ и t+ , т.е. с изменением времени корреляция круто падает (рис. 5.8,б).

3. Структурно математические модели процессов в си

Наиболее общей является информационная модель процессов измерений. При этом объект измерения представлен одним или несколькими информативными параметрами, являющимися случайными сигналами. Для описания таких сигналов могут быть использованы следующие статистические параметры:

1. плотность вероятности;

2) вероятность;

3) момент первого и второго порядка;

4) автокорреляционные функции.

5) спектральные характеристики.

Математические модели приборов могут быть различными, как по уровню абстрагирования (идеализации) так и по содержанию.

По степени абстрагирования различают:

1. функциональные модели.

2. физические модели.

Функциональные модели описывают соотношение между входным и выходным сигналом без связи с конкретными особенностями и свойствами модели.

Физические модели описывают поведение приборов СИ с учетом конструкции и зависят от форм, размеров, материалов и физических явлений используемых в СИ.

Анализ внутренних динамических процессов СИ и процессов прохождения и преобразования сигналов позволяет выделить следующие три типа математических моделей.

Математическая модель энергетических потоков, которая учитывает все виды энергий входящих в СИ и выходящих из него, Она является полным описанием физического поведения СИ; Это модель баланса энергии.

Модель потоков сигналов, которая учитывает только информативные сигналы (потоки).

Модель информативных потоков, которая рассматривает в основном только информативные особенности сигналов и преобразования, производимые с ними в СИ.

Вторая модель является частным случаем модели информативных потоков.

Физические модели используют на заключительных этапах проектирования СИ, предшествующих конструкторской проработке СИ.

Функциональные модели используются на начальных стадиях проектирования, особенно тогда, когда необходимо проводить сравнительный анализ большого числа альтернативных вариантов проектируемого СИ.

Математические модели СИ могут быть получены двумя основными методами:

1. эмпирическим (метод чёрного ящика).

2. теоретическим (аналитическим).

Эмпирический метод реализуется в такой последовательности:

1. определяется структура СИ

2. определяются функциональные особенности СИ

3. составление системы математических уравнений с неизвестными

коэффициентами

4. на основании экспериментальных данных находятся коэффициенты в системе уравнений (см. п.3)

5. зная входные и выходные сигналы проектируемого СИ, корректируются коэффициенты математической модели.

Теоретический метод состоит в следующем:

1. проектируемое СИ разбивается на функциональные узлы, реализующие ту или иное физическое явление;

2. каждый из узлов по п.1 описывается в соответствии с физическими явлениями и физическими законами (уравнениями).

3. систему уравнений, полученную в п.2, адаптируют и идентифицируют с учётом конструктивных параметров и функционального назначения.