2. Моделирование си на основании закона сохранения энергии

Уравнения математических моделей СИ, учитывая преобразование ими энергии из одного вида в другую, можно получить, используя два подхода.

При первом подходе, исходя из положения о том, что динамическая траектория системы определяется путем нахождения экстремума некоторых интегральных функций (интегральный подход). В этом случае сначала устанавливается общая терминология для всех видов преобразователей входящих в СИ (электрических, механических, пневматических и т.д.) путем введения энергетических (силовых) функций в обобщенных переменных. Связь силы и энергии записывается, например, в виде

,

где W₁ – энергия части СИ, изменяющаяся по обощенной координате x₁;

F_x1 – проекция вектора силы, действующая на указанную часть СИ на ось x₁.

Затем используя один из основных принципов ( принцип Гамильтона) находят динамические уравнения для всех преобразователей, включая уравнение для всех связей.

При втором подходе используют бесконечно малые изменения в измерительных цепях - это дифференциальный принцип. В этом случае уравнение движения (состояния) преобразователей получают на основании законов физики, используя, например, принцип возможных перемещений и закон сохранения энергии или используя понятие мощности сил электромагнитного поля.

3. Моделирование си с использованием принципа Гамильтона и уравнение Лагранжа

Суть Принципа Гамильтона состоит в том, что вариация интеграла по времени функции Лагранжа L между двумя фиксированными точками q_i(t₁) и q_i(t₂) должна равняться нулю

(8.1)

где и – соответственно обобщенные координаты и обобщенные скорости; - вариация интегральной функции Логранжа.

Принцип Гамильтона в дифференциальной форме имеет вид

,

(8.2)

который при всех независимых q_i дает уравнение Лагранжа 2-го рода для консервативной системы.

,

(8.3)

Это уравнение силовой функции Лагранжа L определяет динамическую траекторию системы, включая уравнение связи.

4. Моделирование си методом аналогий

При моделировании средств измерения широкое распространение получил метод аналогий, который заключается в следующем.

Для цепей различной физической природы устанавливается аналогия обобщенных параметров: сил, скоростей, координат, и т.д. Эти аналогии сводятся в таблицу. При этом аналогами называются цепи различной физической природы, описываемые одной и той же системой интегродиффиренциальных уравнений

В связи с тем, что имеется параллельное и последовательное соединение элементов в электрических и механических цепях, могут иметь место, по крайней мере, четыре аналогии параметров этих цепей, называемые прямыми:

1. параллельно параллельно;

2. последовательно последовательно.

А так же четыре аналогии, называемые обратными:

1. параллельно последовательно;

2. последовательно параллельно.

Рис. 8.4. Схема механической цепи с параллельным соединением звеньев

На рис. 8.4 приведена схема механической цепи с параллельным соединением элементов, состоящей из пружины (1) с коэффициентом жесткости k, вязкого демпфера (2) с параметром демпфирования R_m и приведенной массой m подвижных частей, к которым приложена активная сила F.

Примером такой цепи может служить механическая измерительная цепь емкостного преобразователя (рис. 8.5а).

a) б)

Рис. 8.5. Емкостный преобразователь: а) конструкция; б) схема взаимодействия элементов

Емкостный измерительный преобразователь давления P состоит из конденсатора, образованного неподвижной обкладкой 2 и мембраной 1, подключенного через сопротивление R к источнику напряжения U.

Схематическое изображение основных элементов емкостного преобразователя показан на рис. 8.5,б. Механическое перемещение мембраны соответствует перемещению массы m под действием силы F, которое ограничено упругой силой пружины (мембраны) К. Демпфирующее действие объемов воздуха между мембраной и неподвижной обкладкой учитывается коэффициентом демпфирования R_m.

Согласно принципу Д’Аламдера

,

(8.4)

где F_m- сила инерции;

F₁ и F₂ – силы, соответственно развиваемые пружиной и демпфером;

X – перемещение (обобщенная координата) отсчитываемое от исходного состояния равновесия (F=0).

Уравнение (8.4) можно записать в виде

,

(8.5)

где ,

,

.

На рис. 8.6 изображена последовательная электрическая цепь, состоящая из источника напряжения U, конденсатора С, катушки индуктивности L и активного сопротивления R.

Рис. 8.6. Последовательная электрическая цепь

Используя второй закон Кирхгофа можно записать уравнение для этой цепи в виде

.

(8.6)

Откуда с учетом того, что ток i в цепи и электрический заряд q, накопленный элементами этой цепи, связаны соотношением

.

(8.7)

Уравнение (8.6) можно записать в виде

,

(8.8)

Сравнивая уравнения (8.5) и (8.8) можно установить аналогии параметров: механическая цепь параллельная  электрическая цепь последовательная.

В таблице 8.1 приведены аналогии обобщенных параметров механических и электрических цепей. Метод аналогии позволяет проводить аналоговое моделирование механических цепей с помощью электрических цепей.

Таблица 8.1

Аналогии обобщенных параметров механической и электрической цепей

Обобщённый параметр	Механическая		Электрическая
	параллельно	последовательно	параллельно	последовательно
Обобщённая координата qi	X, м перемещение	, Обобщённый импульс	, потокосцепление	Q, Кл заряд
Обобщённая скорость	, скорость	сила	напряжение	ток
Обобщённая сила	F, H сила	, скорость	I, A ток	U, B напряжение
Коэффициент инерции	m, кг масса	эластичность	ёмкость	индуктивность
Коэффициент сопротивления	, демпфирование, сопротивление потерь	механическая проводимость	проводимость	активное сопротивление
Коэффициент упругости	жесткость упругих элементов	величина, обратная массе	1/L, Гн-1 величина, обратная индуктивности	1/С, Ф-1 величина, обратная ёмкости