5. Похідна, правила диференціювання.

Нехай на мнж. Х задано ф-ію і - деяка т. з мнж. Х. Виберемо ще одну т. (кажуть, що надамо т. приросту так, що ). Знайдемо різницю , яку наз. приростом ф-ії в т. . Якщо існує границя відношення при , яка не залежить від способу прямування , то цю границю наз. похідною ф-ії в т. .

Похідною ф-ії в т. наз. границя відношення приросту ф-ії до приросту аргументу в цій т., коли приріст аргументу прямує до нуля. Познач. або . Тоді згідно з озн. . Операція знаходження похідної наз. диференціюванням, а ф-ія, яка в т. має похідну наз. диференційовною в т.

Похідна ф-ії в т. геометрично означає кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до кривої в цій т. А з фізичної т. зору похідна від ф-ії шляху по часу в т. – це миттєва швидкість в момент .

Т. Якщо ф-ія диф-на в т., то вона в цій т. неперервна.

Основні правила диф-ння: Т. Якщо ф-ії диф-ні в т. , то ф-ії також диф-ні в цій т., причому

Т. Якщо ф-ії диф-ні в т. , то в цій т. буде диф-на і ф-ія , причому

Т. Якщо ф-ії диф-ні в т. , то в цій т. буде диф-на і ф-ія , при чому .

Похідна оберненої та складної ф-ії: Т. Якщо ф-ія диф-на в т. , тобто існує похідна , а ф-ія диф-на у відповідній т. , тобто існує похідна , то складна ф-ія має похідну в т. , при чому .

Т. Якщо ф-ія монотонно зростаюча (монотонно спадна) на мнж. Х і в деякій т. має похідну , то обернена ф-ія буде диф-ною у відповідній т. , причому

Основні властивості диф-них ф-ій: Т. (Ферма) Нехай ф-ія визначена на сегменті і в середині цього сегмента в деякій т. с набуває свого найбільшого або найменшого значення. Тоді, якщо в цій т. існує похідна, то вона рівна нулю, тобто .

Т. (Ролля) Якщо ф-ія визначена і неперервна на , диф-на на , на кінцях сегмента набуває рівних значень ( ), то на існує хоча б одна т. с, така що .

Т. (Лагранжа) Якщо ф-ія визначена і неперервна на , дифер-на на , то на існує хоча б одна т. с, така що .

Т. (Коші) Якщо ф-ії та визначені і неперервні на , дифер-ні на , , то на інтервалі : .

Пр. Знайти , якщо :

6. Диференційовність функції кількох змінних.

Нехай ф-ія визначена в околі т. . Візьмемо в цьому околі т. (для цієї т. всі координати за винятком к-ї співпадають з координатами т. а, причому ). Тоді різницю наз. частинним приростом ф-ії по змінній в т. а. Такий приріст познач. .

Границя віднош. (якщо вона існує) частинного приросту ф-ії по змінній в т. а до приросту , коли наз. частинною похідною ф-ії по змінній в т. а. Познач.: .

Частина похідна ф-ії по змінній х в т. геометрично означає тангенс кута нахилу до площини дотичної проведеної в т. до кривої АВ що утворюється при перетині поверхні з площиною .

Ф-ія наз. диф-ною в т. , якщо її повний приріст в цій т. можна подати у вигляді: , де - сталі числа, , .

Т. Якщо ф-ія диф-на в т. , то вона в цій т. має частині похідні по всіх змінних, причому , .

Тому повний приріст можна подати у вигляді: .

Ф-ія наз. непер-ою в т. , яка є т. скупчення обл.. визнач. ф-ії, якщо повний приріст ф-ії в цій т. прямує до нуля, коли всі прирости змінних прямують до нуля:

Т. Якщо ф-ія диф-на в т. , то вона в цій т. неперервна.

Т. Якщо ф-ія в деякому околі т. має частині похідні по всіх змінних, які в т. неперервні, то ф-ія в цій т. буде диф-ною.

Якщо ф-ії та диф-ні на мнж. , то ф-ї диф-ні на мнж. А.

Повним диференціалом ф-ії в т. наз. головна (лінійна) частина приросту ф-ії. Позначають .

Т. (Диф-ння складної ф-ії) Якщо ф-ії , , …, диф-ні в деякій т. , а ф-ія диф-на у відповідній т. , то складна ф-ія є диф-на в т. , причому її частині похідні обчисл-ся за ф-лою: , .

Частинною похідною наз. частинну похідну по змінній від частинної похідної по змінній . Якщо при цьому , то таку похідну наз. змішаною.

Т. Якщо ф-ія в околі т. має частині похідні , і в т. вони непер-і, то .

Дифер-лом 2-го порядку ф-ії змінних наз. дифер-ал від дифере-ла 1-го порядку. Дифер-лом -го порядку наз. дифер-ал від диференціала -го порядку. .

Пр. Знайти , якщо