3. Границя функції в точці, властивості. Знайти

Нехай задано дві мнж. Х та У. Якщо кожному елем. ставиться у відпов. єдиний елем. , то кажуть, що на мнж. Х задано відображення або ф-ію і записують . При цьому мнж. Х наз. областю визнач., У – мнж-ю значень. Ф-ію можна задавати: графічно, аналітично (формулою), таблично, описово.

Нехай на мнж. Х задано ф-ію з мнж-ю значень . Якщо для кожного елем. уєУ в мнж. Х існує єдине значення х, таке що , то ф-ію, яка кожному уєУ ставить у відпов. те хєХ, для якого наз. оберненою до ф-ії f(х) і познач. або .

Нехай на мнж. Т задано ф-ію f і на мнж. Х задано ф-ію , то можна поставити у відпов. і ця відпов. є складною ф-ією або суперпозицією ф-ій і .

Ф-ія , задана на мнж. Х наз. зростаючою на мнж. , якщо для , з того що . ( - неспадна; - спадна; - незростаюча). Ф-ії зростаючі, спадні, незростаючі і неспадні наз. монотонними.

Ф-ія , визначена на мнж. Х симетричній відносно поч.. координат наз. парною, якщо для : . Для непарної ф-ії: . Ф-ія наз. обмеженою на мнж. Х, якщо .

Ф-ія визначена на нескінч. проміжку Х наз. періодичною, якщо існує число , що для , для яких і буде .

Точка а наз. точкою скупчення мнж. Х, якщо в довільному її околі міститься хоча б один елемент мнж. Х відмінний від а. Точка мнж., яка не є т. скупчення наз. ізольованою т.

Число А наз. границею ф-ії в т. а, яка є т. скупчення обл. визначення Х, якщо

Той факт, що число А є границею ф-ії f(x) в т. а записують так . Геометр. це означає, що для довільного числа знайдеться таке , що для значення ф-ії попадуть в -доріжку точки А.

О. (Гейне) Число А наз. границею ф-ії f(х) в т. а, яка є т. скупчення області визначення Х заданої ф-ії, якщо для довільної послід. значень аргументу, яка прямує до а відповідна послід. значень ф-ії прямує до А.

Число А наз. лівосторонньою (правосторонньою) границею ф-ії f(х) в т. а, якщо ( ) . Число А наз. границею ф-ії на нескінченності, якщо .

Важливі границі: 1. ; 2. . Насл.:

Пр. Знайти: = = = =1* =

4. Неперервність функції, властивості.

Ф-ія f(x) наз. неперервною в т. , яка є т. скупчення обл. визначення Х ф-ії f(x), якщо границя ф-ії в цій т. рівна значенню ф-ії в т. . Тобто якщо .

Ф-ія f(x) наз. непер-ою в т. , яка є т. скупчення обл. визнач. Х ф-ії f(x), якщо

Ф-ія f(x) наз. непер-ою в т. , яка є т. скупчення обл. визнач. Х ф-ії f(x), якщо для довільної послід. значень аргументу, яка прямує до , відповідна послід. значень ф-ії прямує до .

Ф-ія f(x) наз. непер-ною в т. , яка є т. скупчення обл. визнач. Х ф-ії f(x), якщо нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст ф-ії, тобто якщо .

Ф-ія наз. непер-ною на мнж. Х, якщо вона неперервна в кожній т. цієї мнж.

Ф-ія наз. непер-ною справа (зліва) в т. , якщо правостороння (лівостороння) границя ф-ії в цій т. дорівнює значенню ф-ії в цій т., тобто якщо ( )

Точка , в якій ф-ія не є непер-ю наз. точкою розриву ф-ії. Точка розриву буде т. розриву 1-го роду, якщо існують скінченні односторонні границі, причому, якщо , то т. наз. точкою стрибка, а якщо або не існує – усувною т. розриву. Якщо ж хоча б одна з односторонніх границь в т. не існує, або рівна нескінченності, то така т. наз. т. розриву 2-го роду.

Т. Якщо ф-ія зростає (спадає) і непер-на на деякому проміжку Х, то на відповідному проміжку У=f(X) існує обернена ф-ія , яка є зростаючою (спадною) і непер-ною.

Т. Якщо ф-ія непер-на в т. , а ф-ія непер-на у відповідній т. , то складна ф-ія непер-на в т. .

Т.(1-ша т. Больцано-Коші) Якщо ф-ія непер-на на і на кінцях сегменту приймає значень різних знаків , то існує хоча б одна т. с на , така що .

Т. (2-га т. Больцано-Коші) Якщо ф-ія непер-на на і на кінцях сегмента набуває різних значень ( ), то яке б не було число С між А та В завжди існує така т. , що .

Т. (1-ша т. Вейєрштрасса) Якщо ф-ія непер-на на , то вона на цьому сегменті є обмеженою, тобто .

Т. (2-га т. Веєрштрасса) Якщо ф-ія непер-на на , то вона на цьому сегменті досягає свого найбільшого і найменшого значення, тобто і .

Ф-ія f(x) наз. рівномірно непер-ною на мнж. Х, якщо для яких

Т. (Кантора) Якщо ф-ія непер-на на сегменті, то вона на цьому сегменті рівномірно непер-на.

Пр. Дослідити на неперервність:

- неперервна на (0;1), - неперервна на (1;2). Отже, - неперервна на (0;1), (1;2). ; ; отже х=1 – точка неперервності.