7. Застосування похідної до дослідження ф-ії.

Т. Нехай ф-ія визначена і непер-на на мнж. Х і диф-на у всіх внутрішніх точках цієї мнж. Для того, щоб ф-ія була сталою на мнж. Х НіД, щоб її похідна була рівна нулю у всіх внутрішніх точках мнж. Х.

Насл. Нехай на мнж. Х задано ф-ії і , які є неперервними на мнж. Х і диф-ними в усіх внутрішніх точках мнж. Х, причому , . Тоді: , де С – деяке число.

Т. Якщо ф-ія диф-на на (a;b) і , за винятком, можливо, скінченної кількості точок, в яких , то ф-ія зростає (спадає) на (a;b) .

Для відшукання проміжків монотонності потрібно: знайти обл. визнач. ф-ії; знайти похідну; знайти критичні точки (в яких похідна дорівнює нулю або не існує) і розбити ними обл. визнач. на проміжки; з’ясувати знак похідної на кожному з отриманих проміжків (якщо похідна додатна, то ф-ія зростає, якщо від’ємна, то спадає).

Точка наз. т. максимуму (мінімуму) ф-ії , якщо існує такий окіл т. , що х з цього околу f(x) f( ) (f(x) f( )). Т. максимуму і мінімуму наз. екстремумами ф-ії.

Т. (необх. умова екстремуму) Якщо ф-ія в т. має екстремум, то при умові існування похідної в цій т., ця похідна рівна нулю.

Т. (достатні умови екстремуму) Нехай ф-ія диф-на в деякому околі ( -, +) т. (за винятком, може самої т. , але в т. ф-ія неперервна) і на інтервалах та похідна зберігає свій знак. Тоді якщо при переході через т. похідна змінює свій знак з «+» на «-», то т. є т. максимуму ф-ії; з «-» на «+»,то т. є т. мінімуму ф-ії; якщо при переході через т. похідна не змінює знак, то т. не є т. екстремуму.

Т. (достатні умови екстремуму) Нехай ф-ія двічі диф-на в т. , причому , . Тоді при т. є т. мінімуму, а при т. є т. максимуму.

Розглянуті екстремуми наз. локальними. Крім них є абсолютні екстремуми, тобто найбільше і найменше значення ф-ії на мнж. Щоб знайти їх потрібно знайти всі критичні т. ф-ії на сегменті, обчислити значення ф-ії в цих т. і на кінцях сегмента та серед знайдених значень ф-ії вибрати найбільше та найменше.

Крива у=f(x) наз. опуклою на (a;b), якщо всі її т., крім т. дотику, лежать нижче довільної дотичної до кривої на цьому проміжку.

Крива у=f(x) наз. вгнутою на (a;b), якщо всі її т., крім т. дотику, лежать вище довільної дотичної до кривої на цьому проміжку.

Т. Нехай ф-ія двічі диф-на на (a;b). Тоді якщо , то крива у=f(x) є опуклою на цьому інтервалі, якщо , то крива у=f(x) є вгнутою.

Точки, при переході через які крива змінює свій напрям вгнутості, наз. точками перегину. Щоб знайти точки перегину треба знайти точки, в яких друга похідна дорівнює нулю або не існує і переконатись, що при переході через них друга похідна змінює свій знак.

Пр. Знайти екстремуми ф-ії :

8. Екстремуми ф-ій багатьох змінних.

Нехай ф-ія визначена в деякому околі т. . Візьмемо в цьому околі т. (всі корд. за винятком к-ї співпадають з коор-ми т. а, причому ). Тоді різницю наз. частинним приростом ф-ії по змінній в т. а, познач. . Границя віднош. (якщо вона існує) част. приросту ф-ії по змінній в т. а до приросту , коли наз. част. похідною ф-ії по змінній в т. а. Познач.: .Част. похідна ф-ії по змін. х в т. геометр. означає тангенс кута нахилу до площини дотичної провед. в т. до кривої АВ, що утворюється при перетині поверхні з площиною .

Т. наз. т. макс. (мін.) ф-ії , якщо в мнж. А існує такий окіл т. , що з цього околу викон. ( ). ( або є т. екст-му ф-ії , якщо в околі т. приріст ф-ії зберігає свій знак. Якщо , то т. - т. мін., якщо - макс.). Т. (Необх. умови екстрим.) Якщо ф-ія в т. має екстр., то при умові існування част. похідних ф-ії в цій т., всі вони рівні нулю.

Точки, в яких всі част. похідні ф-ії =0 наз. стаціонар. т. ф-ї. Для знах. стац. т. потрібно розв’язати сист., в якій всі част. =0.

Т. (Дост. умови екстрим.) Нехай задано ф-ію U=f(x,y) і , , , , . Тоді: якщо , то ф-ія в т. має екстрем., причому мін. при і макс. при ; якщо , то ф-ія в т. не має екстрим.; якщо , то одержимо сумнівний випадок.