23. Замечательный предел типа «е».

Последовательность  , имеет конечный предел, называемый числом е:

Это и есть второй замечательный предел)

Пример 1 - найти предел используя второй замечательный предел

Найти предел

Решение.

Преобразуем предел:

Используя свойства пределов , а конкретно, что если функция f(x) непрерывна в точке a, то , получим

Замечаем, что можно применить второй замечательный предел и получаем ответ.

Получаем ответ: корень из е

24. Предел функции в точке.

Если функция f (x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.

Число A₁ называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство  

Число A₂ называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство  

Предел слева обозначается предел справа – Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называют односторонними пределами. В обозначении односторонних пределов при x → 0 обычно опускают первый нуль: и .

Если функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы в точке a, причем   то

, ,

если B ≠ 0 и если g (x) ≠ 0 в δ-окрестности точки a.

Определение предела функции в точке по Коши.Число b называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любого положительного числа e существует такое положительное число d, что при всех х ≠ а, таких, что |x – a | < d, выполняется неравенство

| f(x) – a | < e .

Определение предела функции в точке по Гейне. Число b называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любой последовательности {xn}, сходящейся к а (стремящейся к а, имеющей пределом число а), причем ни при каком значении n хn ≠ а, последовательность {yn = f(xn)} сходится к b.

Данные определения предполагают, что функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а.

Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны: если число b служит пределом по одному из них, то это верно и по второму.

25 Билет. Определение предела функции на языке языке «ε» — «δ» (предел функции по Коши)

ЧислоA∈ℝназываетсяпределомфункцииf(x) при x стремящемся к x0 (функции f(x) вточкеx0),если∀ε>0 ∃δ>0 такое, что пределом

Если x∈U*(x0, δ) , тоf(x)∈U(A, ε) .

Замечание.

1)Условие x ∈U*(x0,δ) означает, что для x выполняется неравенство:

а) 0<|x–x0|<δ, еслиx0∈ℝ;

б) |x|>1/δ, еслиx0=∞;

в) x>1/δ, еслиx0=+∞;

г) x<–1/δ, еслиx0=–∞.

2)Условие f(x)∈U(A, ε) означает, что для f(x) выполняется неравенство |f(x)–A|<ε

26 Билет. Геометрический смысл предела функции в точке.

Построим график функции y=f(x) и отметим на нем точки x=a

и y=A

Предел функции y=f(x) в точке x стремится к 0 существует и равен A, если

для любой ε-окрестности точки A можно указать такую δ-окрестность точки

a, что для любого x из этой δ-окрестности значение f(x) будет находиться в

ε-окрестности точки A.

Отметим, что по определению предела функции в точке для

существования предела при x → a не важно, какое значение принимает

функция в самой точке a. Можно привести примеры, когда функция не

определена при x=a или принимает значение, отличное от A. Тем не

менее, предел может быть равен A.