4 Билет. Прямое произведение множеств.

Прямым произведением  множеств X и Y называется множество  , элементами которого являются все возможные упорядоченные пары <x, y>, такие, что  . При этом используют следующее обозначение: 

Например: Пусть Х – множество точек отрезка [0, 1], а Y – множество точек отрезка [1, 2]. Тогда   - множество точек квадрата  с вершинами в точках (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1,2).

5 Билет. Бинарные отношения.

В математике бинарным отношением называется подмножество декартова произведения 2х множеств. В частности, бинарным отношением на множестве называется множество упорядоченных пар элементов этого множества.

Если задана пара (а,б), то множество (а,(а,б)) называется упорядоченной парой.

-совокупность, состоящая из 2х элементов х и у,взятых в определенном порядке :элемент х считается в паре первым,а элемент у-2м. Две упорядоченные пары <х1,у1> и <х2,у2> называются равными тогда и только тогда, когда х1=х2,у1=у2.

Свойства бинарных отношений:

1) рефлексивность

2) антирефлексивность

3) симметричность

4) антисимметричность

5) транзитивность

6) ассиметричность (эквивалентна одновеременной антирефлексивности и антисимметричности отношения)

Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве Х называется отношением эквивалентности на множестве Х и обозначается .

6 Билет. Функция как закон соответствия между множествами

Функция – это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Закон соответствия между множествами X и У — это множество пар, где на первом месте стоит элемент из множества X, а на втором — элемент из множества У. Для того, чтобы закон соответствия задавал вместе с множествами X и У функцию, нужно потребовать, чтобы в определяющем его множестве пар каждый! элемент множества X встречался ровно один раз.  

Пусть задано числовое множество Если каждому числу поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на множестве D задана числовая функция:

y = f (x),

Множество D называется областью определения функции и обозначается D (f (x)). Множество, состоящее из всех элементов f (x), где называется областью значений функции и обозначается E (f (x)).

Число x часто называют аргументом функции или независимой переменной, а число y – зависимой переменной или, собственно, функцией переменной x.

Функции f и g называются равными, если они имеют одну и ту же область определения D и для каждого значения этих функций совпадают. В этом случае пишут f (x) = g (x), или f = g.

Функция, в которой каждому элементу множества А соответствует не более 1 элемента множества В называется однозначной (в обратном случае – неоднозначной). Если функция однозначна и всюду определена, то это отображение множества А на множество В.

Функция внутрь множества В – область значений не совпадает со всем множеством В. Функция на всё множество В – всё элементы множества захвачены. Если каждому элементу множества В соответствует 1 и только 1элемент из множества А, то такая функция Инъективна.

7. Класс элементарных функций

Элементарные функции — функции, которые можно получить из основных элементарных функций (полиномиальная функция, рациональная, степенная, показательная и логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические) с помощью конечного числа арифметических действий и композиций. Каждую элементарную функцию можно задать формулой, т.е. набором конечного числа символов, отвечающих перечисленным операциям.

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.

Элементарные функции разделяются на алгебраические и трансцендентные.

Классы функций, которые получены из элементарных:

1. Целая рациональная функция (или многочлен): y=a0xn+a1xn-1+...+an, где n - целое неотрицательное число (степень многочлена), a0, a1, ..., an - постоянные числа (коэффициенты).

2. Дробно-рациональная функция, которая является отношением двух целых рациональных функций.

3. Целые рациональные и дробно-рациональные образуют класс рациональных функций.