48 Билет. Бином Ньютона. Формула Ньютона-Лейбница.

Если функция f (x) интегрируема на [a; b], то для любого существует интеграл

который называется интегралом с переменным верхним пределом.

Если функция f интегрируема на [a; b], то функция F (x) непрерывна на этом отрезке.

Если функция f интегрируема на [a; b] и непрерывна в то функция F (x) дифференцируема в  причем

Если функция f непрерывна на [a; b], то на этом отрезке она имеет первообразную F вида

где C – постоянная. Всякая первообразная функции f на отрезке [a; b] удовлетворяет этой формуле.

теорема Ньютона – Лейбница: Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда

Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).

Пусть f (x) непрерывна на [a; b], g (t) имеет непрерывную производную на [α; β], Тогда если a = g (α), b = g (β), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:

Если функции u (x) и v (x) имеют на [a; b] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Вычисление определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральной суммы, как правило, связано с большими трудностями. Существует более удобный метод, который основан на связи между неопределенным и определенным интегралами.

Теорема. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нажнем пределах интеграла

Эта формула открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, поскольку задача вычисления опред.интеграла сводится к задаче исчисления неопред.интеграла, которая достаточно полно изучена.

49 Билет.Теорема Лагранжа о конечном приращении функции на отрезке.

Теорема Лагранжа. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b), то существует хотя бы одна точка такая, что

Это соотношение называется формулой конечных приращений Лагранжа. Воспользовавшись ей, легко доказать, что если производная функции на отрезке [a; b] равна 0, то эта функция постоянна на этом отрезке. Если производная функции f на отрезке [a; b] равна k, то f – линейная функция.

Если в точке x₀ функции f и g равны, а производные этих функций, если они существуют, удовлетворяют на некотором отрезке [x₀; x₁] соотношению f ′ (x) > g′ (x), то в каждой точке промежутка (x₀; x₁]  f (x) > g (x).

50 Билет. Правило Лопиталя, раскрытия неопределенностей.

Пусть функции f и g одновременно являются либо бесконечными большими, либо бесконечно малыми в точке a. Тогда при вычислении пределов при x → a для раскрытия неопределенностей вида или   удобно применить правило Лопиталя:

Неопределенности вида 0 · ∞, ∞ – ∞, 0⁰, ∞⁰, 1^∞ часто удается свести к неопределенностям вида или с помощью различных преобразований.

51 Билет. Понятие о дифференциале функции.

Дифференциалом функции f(x) (обозначается через dF(x) ) называется следующее выражение:

где dx -- дифференциал x при условии, что функция имеет производную.

Предположим, что существует следующее равенство функций:

Тогда дифференциал от равенства есть

Для решения дифференциальных уравнений используют много разных способов: метод разделения переменных, метод вариации и т.д.

Например, в методе разделения переменных используется определение дифференциала функции т.е.

<< Пример 24.1

Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x2-sin(l+2x).

Решение: По формуле dy=ƒ'(х) dx находим

dy=(3х2-sin(l+2x))'dx=(6х-2cos(l+2х))dx.

<< Пример 24.2

Найти дифференциал функции

Вычислить dy при х=0, dx=0,1.

Решение:

Подставив х=0 и dx=0.1, получим