1 Билет. Понятие множества, элемента множества.

Под множеством понимается совокупность (набор, собрание) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами или точками этого множества. Примерами множеств являются: множество натуральных чисел, множество социальных работников, множество коммерческих банков и т. п.

Обычно множества обозначают большими буквами латинского алфавита, их элементы — малыми буквами латинского алфавита.

Иногда для обозначения элементов используются также большие буквы латинского алфавита и греческие буквы.

Множество часто записывают с помощью фигурных скобок, например:

А = {а1;a2;a3…an}. Если объект а принадлежит множеству Л, то пишут a Є (знак принадлежности) Л, в противном случае пишут а ∉ А .Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом ø. Так, например, пусто множество землян, ступивших на планету Сатурн.

Множество В называется подмножеством множества Л, если каждый элемент множества В является элементом множества Л. Символически это обозначают так: В ⊆ Л.

Если, например, А — множество всех студентов вуза, а В — множество студентов-первокурсников этого вуза, то В есть подмножество Л, т.е. В С А. Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначают это так: А = В.

Объединением двух множеств Аи В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств. Объединение множеств обозначают символом U и пишут С = Ли В = {х | х G А или х G В}.

Пересечением множеств Л и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств Л и В. Пересечение множеств обозначают символом и пишут

D = A B = {x\x A и x B}.

Счетным множеством называется всякое множество, элементам которого можно поставить во взаимно однозначное соответствие множество натуральных чисел.

Отсюда, счетное множество - это бесконечное множество, элементы которого можно перенумеровать натуральными числами.

Числовые множества. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Понятие числа появилось в результате необходимости счета предметов. Вначале возникли натуральные числа. Множество натуральных чисел обозначается большой ажурной латинской буквой N.

N = {1,2,3,...}.

Иррациональные числа выражаются бесконечной непериодической десятичной дробью. Множества рациональных и иррациональных чисел составляют множество действительных чисел .

Между множествами N, Z, Q и существует соотношение N Z Q .

Геометрически множество действительных чисел изображается точками числовой прямой (или числовой оси), т.е. прямой, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба.

Между множеством действительных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т. е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой — опре-

деленное действительное число. Поэтому часто вместо «число х» говорят «точка х».

Множество действительных чисел дополняют двумя элементами, обозначаемыми — и + и называемыми минус бесконечность и плюс бесконечность. Множество М, дополненное элементами — и + , называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается с черточкой сверху. Бесконечности — и + называют еще бесконечно удаленными точками.