8. Лінійне тригонометричне рівняння

Тригонометричне рівняння

(29)

називається лінійним. Воно зводиться до найпростіших рівнянь.

Поділимо обидві частини рівняння на вираз :

.

Уведемо допоміжний кут такий, що

, .

Рівняння здобуває вигляд

або

Звідки дістаємо розв’язок

, .

Умова, за якої можна розв'язати рівняння (29), така:

, . (30)

Приклад. Знайдемо рішення рівняння

.

Розділимо рівняння на

чи

,

, , .

9. Зведення тригонометричного рівняння до алгебраїчного

Тригонометричне рівняння перетворюють до вигляду , де — тригонометричний вираз, наприклад , , .

Приклад. Розв’яжемо рівняння

.

Усі члени рівняння можна виразити через функцію :

, , .

Рівняння має рішення

, .

Рівняння виду

(31)

називається однорідним. Якщо , то після розподілу рівняння на , одержимо рівняння

, .

Приклад. Вирішимо тригонометричне рівняння

,

Запишемо рівняння у вигляді

чи

.

Це рівняння однорідне, і його можна подати у вигляді:

, , , .

Рівняння має два розв’язки

, , ;

, , .

Наведемо в загальному виді типові заміни:

, ;

, ;

, , , ;

, , .

10. Розклад рівняння на множники

Якщо ліву частину рівняння вдається подати у вигляді добутку двох множників:

,

то можна окремо розв’язати кожне з рівнянь і .

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Розкладемо рівняння на множники

.

Оскільки , то рівняння набуває вигляду

і зводиться до двох рівнянь

, , , ;

, , , .

Рівняння входить у рівняння , і рішення рівняння входить в .

11. Рівність однойменних функцій

На практиці доволі часто доводиться розв’язувати рівняння виду Розглянемо способи їх розв’язування.

1. Щоб розв’язати рівняння виконаємо такі перетворення:

,

, , ;

, , , .

Таким чином, вихідне рівняння зводиться до рівнянь

, ; , . (32)

Приклад. Вирішимо рівняння .

З формул (32) знаходимо рішення:

, ,

, , .

Приклад. Вирішимо рівняння . Запишемо рівняння у виді і знаходимо рішення з рівнянь (32):

, , ;

, , .

2. Рівняння можна подати у вигляді .

, відкіля знаходимо рівності

, ;

, . (33)

Приклад. Вирішимо рівняння з рівнянь (33) знаходимо рішення:

, , ;

, , .

3. Рівняння , можна подати у вигляді:

, =0, , , .

Таким чином, рівняння зводиться до рівняння

, . (34)

Приклад. Розв’язати рівняння . З рівняння (34) знаходимо рішення , . При непарному вирази , не мають змісту. Тому одержимо остаточне рішення , , .

Приклад. Розв’язати рівняння .

Запишемо рівняння у вигляді , і знаходимо рішення (34).

, , .

Приклад. Розв’язати рівняння .

З рівняння (34) знаходимо

, , , .

Квадратне рівняння має дійсний розв’язок за умови , .

Ця нерівність виконується, якщо .

При цьому дістаємо рівняння

, , .

Остаточно знаходимо рішення, що залежить від двох цілих чисел

, , , .