8. Оцінка відхилення емпіричного розподілу від нормального

_{Для оцінки відхилення емпіричного розподілу від нормального використовують різні характеристики. Зокрема, до них відносяться асиметрія і ексцес.}

_{Асиметрія емпіричного розподілу визначається за формулою:}

_{де m3 – центральний емпіричний момент третього порядку.}

_{Ексцес емпіричного розподілу визначається за формулою}

_{де m4 – центральний емпіричний момент четвертого порядку.}

_{Моменти m3 і m4 обчислимо методом моментів за формулами:}

_{де Мj – умовний момент k-го порядку, h – довжина інтервалу.}

_{Умовні моменти будемо обчислювати за формулою:}

_{Вибірка Х.}

_{Скористаємось вже обрахованими раніше значеннями умовних варіант.}

Таблиця 15

-1,734	3	-3,79	-11,36	43	-162,97	617,66	181,78
-1,309	6	-2,92	-17,52	51,16	-149,39	436,21	81,54
-0,679	7	-1,63	-11,41	18,59	-30,3	49,39	1,1
-0,324	7	-0,91	-6,37	5,798	-5,28	4,8	0,0005
0,122	9	0	0	0	0	0	9
0,824	10	1,43	14,3	20,49	29,3	41,9	348.68
1,32	6	2,44	14,67	35,79	87,32	213,08	840,2
1,531	2	2,88	5,75	16,56	47,69	137,36	453,27
	50		-11,94	191,39	-183,63	1500,4	1914,89

Контрольна сума: Σn_iu_i⁴ +4Σn_iu_i³ + 6Σn_iu_i² + 4Σn_iu_i + n = 1914,89;

де n_i – сума частот і-го інтервалу, u_i – умовні варіанти

Умовні моменти першого та другого порядків другої вибірки були знайдені раніше (завдання 2): , .

Обрахуємо умовні моменти третього та четвертого порядків за формулою:

_{Знайдемо центральні емпіричні моменти третього та четвертого порядків за формулами:}

= -0,1117;

= 1,61;

Знайдемо асиметрію і ексцес за формулами, вибіркові середні квадратичні знайдені раніше (завдання 2). Обраховуємо для вибірки X:

= -0,1303

= -1,025

Аналогічно працюємо і з вибіркою Y. Скористаємось вже обрахованими раніше значеннями умовних варіант . Отже для вибірки Y: h= 0,58 с= 0,128

Таблиця 16

-2,243	1	-4,09	-4,09	16,73	-68,42	279,83	91,17
-1,92	1	-3,53	-3,53	12,46	-43,99	155,27	40,97
-0,872	8	-1,72	-13,79	23,72	-40,79	70,17	2,15
-0,402	12	-0,91	-10,97	9,98	-9,08	8,26	0,0008
0,128	11	0	0	0	0	0	11
0,676	6	0,94	5,57	5,24	4,92	4,63	84,99
1,298	8	2,017	16,14	32,55	65,66	132,44	662,81
1,594	3	2,52	7,58	19,1	48,14	121,3	460,57
	50		-3,09	119,78	-43,56	771,9	1353,66

Контрольна сума: Σn_iu_i⁴ +4Σn_iu_i³ + 6Σn_iu_i² + 4Σn_iu_i + n = 1353,98;

де n_i – сума частот і-го інтервалу, u_i – умовні варіанти

Умовні моменти першого та другого порядків другої вибірки були знайдені раніше (завдання 2): , .

Обрахуємо умовні моменти третього та четвертого порядків за формулою:

Знайдемо центральні емпіричні моменти третього та четвертого порядків за формулами:

=-0,085

= 1,73

Знайдемо асиметрію і ексцес за формулами, вибіркові середні квадратичні знайдені раніше (завдання 2). Обраховуємо для вибірки Y:

=-0,1206

= -0,2408

Висновок: В даному розділі ми обрахували асиметрію і ексцес для вибірок X та Y .

Асиметрія оцінює видовженість однієї із віток кривої теоретичного розподілу відносно математичного сподівання. Ексцес оцінює „крутизну” кривої теоретичного розподілу відносно нормальної.

Для вибірки Х : (a_sX < 0) спостерігається плавніший “спуск” полігону частот зліва; і (e_kX < 0) має притуплену вершину порівняно з нормальною кривою.

Для вибірки Y : (a_sY < 0) спостерігається плавніший “спуск” полігону частот зліва; і (e_kY < 0) має притуплену вершину порівняно з нормальною кривою.