Оцінка невідомих математичних сподівань м[х] і m[у] генеральних сукупностей х і у за допомогою довірчого інтервалу з надійністю 0,95
Інтервальною називають оцінку, яка визначається двома числами - кінцями інтервалу.
Нехай за даними вибірки знайдена статистична характеристика θ*, яка служить оцінкою невідомого параметра θ.
Будемо вважати θ сталим числом. Оцінка θ* тим точніше визначає параметр θ, чим менше абсолютна величина різниці θ - θ*.. Іншими словами , якщо ∂ > 0 і │ θ - θ*.│ < ∂, то чим менше ∂, тим оцінка точніша. Таким чином, додатне число ∂ характеризує точність оцінки.
Однак, статистичні методи не дозволяють категорично
стверджувати, що оцінка θ*. задовольняє нерівність │ θ - θ*.│ < ∂.
Можна лише говорити про імовірність y, з якою ця нерівність здійснюється.
Надійністю (довірчою ймовірністю) оцінки θ за θ*. називають імовірність y, з якою виконується нерівність │ θ - θ*.│ < ∂.
Зазвичай надійність оцінки задається наперед, причому в якості у беруть число, близьке до одиниці. Найчастіше задають надійність, що дорівнює 0,95; 0,99; 0,999.
Нехай імовірність того, що │ θ - θ*.│ < ∂ дорівнює у:
Р(│ θ - θ*.│ < ∂) = у.
Замінивши нерівність │ θ - θ*.│ < ∂, рівносильною їй подвійною нерівністю - ∂ < θ - θ*.< ∂, або θ*- ∂< θ< θ*.+ ∂ , маємо Р[θ*- ∂< θ< θ*.+ ∂]=у.
Це співвідношення слід розуміти так: ймовірність того, що інтервал (θ*- ∂, θ*.+ ∂) заключає в собі (покриває) невідомий параметр θ , дорівнює у.
Довірчим називають інтервал (θ*- ∂, θ*.+ ∂), який покриває невідомий параметр із заданою надійністю у .
Інтервал (θ*- ∂, θ*.+ ∂), має випадкові кінці, які називають довірчими границями. В різних вибірках отримують різні значення θ*, отже від вибірки до вибірки будуть змінюватися і кінці довірчого інтервалу, тобто довірчі границі самі є випадковими величинами .
Оскільки випадковою величиною є не параметр θ, що оцінюється, а довірчий інтервал, то правильніше говорити не про імовірність попадання θ в довірчий інтервал, а про імовірність того, що довірчий інтервал покриє θ .
Наприклад, потрібно оцінити невідоме математичне сподівання а за допомогою довірчих інтервалів, якщо кількісна оцінка Х розподілена нормально, а середнє квадратичне відхилення σ невідоме.
За даними вибірки можна побудувати випадкову величину Т (її можливі значення будемо позначати через t ):
де Х - вибіркове середнє;
S - „виправлене" середнє квадратичне відхилення;
n - обсяг вибірки.
Ця величина має розподіл Стьюдента з k = n -1 ступенями вільності.
Густина розподілу Стьюдента:
де
Видно, що розподіл Стьюдента визначається параметром n - обсягом вибірки (або, що те ж саме, числом ступенів вільності k = n -1) і не залежить від невідомих параметрів а і σ . Ця особливість є значною перевагою цього розподілу.
Оскільки S(t,n)
- парна
функція від t,
ймовірність
виконання нерівності
визначається так:
Замінивши нерівність у круглих дужках рівносильною подвійною нерівністю, отримаємо:
Отже, користуючись розподілом Стьюдента, ми знайшли
довірчий інтервал
,
який
покриває невідомий параметр з надійністю
у.
Тут випадкові
величини Х
і S замінені
невипадковими величинами х i s, знайденими
за вибіркою. Параметр tY
знаходимо
з таблиці,
Необхідно оцінити
невідомі математичні сподівання M[X]
i M[Y]
генеральних сукупностей
і
за допомогою довірчого інтервалу з
надійністю 0,95.
Отже,
,
n=50. Користуючись таблицею значень
(додаток
2)
знаходимо
.
Розглядаємо множину Х
Середнє квадратичне
відхилення, або стандартне відхилення,
являє собою квадратний корінь із
дисперсії. Отже, S = 
= 0,95;
Знаходимо вибіркове середнє: x = 0,0044;
Знайдемо довірчі інтервали:
– tᵧ 
= -0,265;
+ tᵧ = 0,2744;
Отже з надійністю
0,95 невідомий параметр математичне
сподівання
знаходиться в довірчому інтервалі
-0,265<a<0,2744
Розглядаємо множину Y
S = = 0,89;
Знаходимо вибіркове середнє: y = 0,0932;
Знайдемо довірчі інтервали:
– tᵧ
= -0,16;
+ tᵧ = 0,346;
Отже з надійністю
0,95 невідомий параметр математичне
сподівання
знаходиться в довірчому інтервалі
-0,16<b<0,346;
Висновок: Ми оцінили невідомі математичні сподівання М[Х] і M[У] генеральних сукупностей Х і У за допомогою довірчого інтервалу з надійністю 0,95. Для вибірки Х з надійністю 0,95 невідомий параметр a знаходиться в довірчому інтервалі -0,265<a<0,2744. Для вибірки Y з надійністю 0,95 невідомий параметр a знаходиться в довірчому інтервалі -0,16<b<0,346.