Теория электронных лавин

В конце 80-х гг. прошлого века немец Ф. Пашен эксперименталь­но установил, что напряжение зажигания разряда Uз зависит от произве­дения pd (где р — давление газа, d — расстояние между электродами) и имеет некое минимальное значение для данного газа и величины второго коэффициента Таунсенда , (кривые Пашена на рис. ниже). Для объяснения этого факта потребовалось количественное описание процесса размноже­ния заряженных частиц в разряде. Первой количественной теорией газово­го разряда была теория электронных лавин, предложенная Таунсендом в самом начале 20-го века.

Рис. Кривые Пашена

Возникновение, развитие и существование разряда во времени и в пространстве

1. Развитие во времени. Очевидно, что реально, помимо рождения в единицу времени на один первичный электрон Y_i, электронов, некое коли­чество электронов одновременно гибнет: а) прилипает к атомам и молеку­лам с частотой Y_a, б) диффундирует на стенки установки с частотой Y_d, в) рекомбинирует с ионами с коэффициентом рекомбинации . Обычно ре­комбинацию не учитывают, так что условием возникновения и развития разряда:

(14)

а горения стационарного разряда:

(15)

Это так называемый «стационарный критерий пробоя». По определению, Y_d = 1/_d, где время диффузии _d зависит от коэффициента диффузии D и характерной диффузионной длины пробега электронов к стенкам _d, _d = _d² /D. Для цилиндра _d = (2.4/R)² + (π/L)² (R и L — радиус и длинa цилиндра); для параллепипеда:

_d = (/L₁)+ (/L₂)² + (/L₃)² , (L₁, L₂, L₃ — линейные размеры параллепипеда). Из выражений для частоты ионизации (8.13) и условия возникновения разряда (8.14) можно составить феноменологическое соотношение баланса для плотности электронов:

(16)

откуда

(17)

где  — постоянная времени лавины. Очевидно, что развиваться лавина может только, если выполняется условие (8.14), и при неограниченном t лавина может развиваться произвольно долго. Но есть ситуации, когда t очень мало (особенно в лазерной искре), тогда необходимо большое пре­вышение рождения электронов над гибелью, т. е. большое электрическое поле Е (а в лазерной искре просто гигантское!). Из обобщенного критерия пробоя :

(18)

видно, что разряд приходит к стационарному при t —> .

Рис. 8.2. Схемы (а) - лавинного размножения электронов в промежутке между катодом К и анодом и (б) диффузионного расплывания лавины электронной лавины, которая рождается от электрона, вышедшего из определенного места катода

На самом деле этот переход происходит раньше. Нарастание тока не безгранично, как это должно было быть по теории электронных лавин, а ограничивается объ­емным зарядом. Так как с ростом последнего при возникновении вирту­ального катода эффективное расстояние до анода сокращается, то на более короткой длине пролетного промежутка уменьшается вероятность иони­зации атомов и молекул газа электронным ударом. В результате разряд переходит к стационарному.

2. Развитие в пространстве. Предположим, что из катода вылетел один электрон. В сильном поле прикатодного слоя он быстро наберет энергию, достаточную для ионизации атома (молекулы) газа, после иони­зации будет два медленных электрона (и один ион). Электроны так же ус­корятся, каждый произведет ионизацию — станет их четыре — тоже уско­рятся, ионизуют, станет восемь и т.д. — возникает лавина, идет цепной процесс (рис. 8.2).

На расстоянии х первый электрон создаст (e^ax —1) электронных пар. Воз­никающие в промежутке электроны дрейфуют к аноду, ионы — к катоду. Приходящие на катод ионы способны выбивать из катода вторичные элек­троны. Для описания процесса ионно-электронной эмиссии Таунсендом был предложен второй коэффициент , равный числу вторичных элек­тронов на один приходящий на катод ион (второй коэффициент Таунсенда) и зависящий от материала катода, чис­тоты его поверхности и др., обычно  = 10^-4  10^-2. Таким образом, ио­ны пойдут к катоду, ускорятся и выбьют из катода (e^ax —1) электронов. Даже если это будет всего один вторичный электрон, то процесс повторится, так что условием горения разряда будет:

(19)

Каждый вторичный электрон также ионизует атомы и рождает электроны

(е^X —1). Нетрудно показать, если число первичных электронов n₀ , длина промежутка между катодом и анодом d, то после суммирования всех вторичных электронов в предположении (е^X —1)< 1, число электронов, приходящих на анод, будет равно: (20)

Величина =(е^d—1) (21)

называется коэффициентом ионизационного усиления. При  < 1 ток будет затухать, условие =1 является условием перехода к самостоя­тельному разряду (условие зажигания разряда) и условием стационарно­сти разряда. Картина упрощена и идеализирована, реально электроны гибнут (прилипают, рекомбинируют, диффундируют к стенкам), кроме того, электроны создаются на катоде не только ионной бомбардировкой, да и  = const только при Е = const на всей протяженности d, но в дейст­вительности Е в катодном слое существенно меняется. В конце про­шлого столетия Таундсенд, проанализировав огромное число опытов, установил экспериментальную зависимость:

(22а)

где А и В постоянные для данного газа и катода, р — давление, Е — напря­женность электрического поля. Такая зависимость может быть качествен­но объяснена тем, что вероятность пройти электрону без столкновений путь _i, на котором электрон набирает необходимую для ионизации энер­гию, пропорционален ехр(—_i / ст ). Коэффициент Таунсенда  = N ехр(—_i / ст) , где N = 1/ст - число соударений на 1 см пропорциональное давлению: N = N₀p, No — число столкновений электрона на 1 см пути при давлении, равном единице. С учетом того, что _i = U_i, /Е получим соотно­шение, подобное (22а):

/р =No exp(-N₀ U_i p/E), (226)

Подстановка численных значений дает правильный порядок величин А и В.

Коэффициенты Таунсенда  и γ обладают тем свойством, что от­ношение /p и γ не являются функцией по отдельности от напряженно­сти электрического поля Е и давления газа р, а зависит от их отношения: /p =f₁ (Е/р) и γ =f₂ (Е/р). Условие зажигания разряда, или условие, позво­ляющее определить напряжение зажигания U_з, имеет вид:

f₁ (U_з /(pd))(exp(f₂(U_з /(pd))) – 1) = 1 (23).

Из (8.23) видно, что напряжение зажигания U_з является функцией произ­ведения pd, и при pd = const напряжение зажигания не меняется. Эта зако­номерность носит название закон Пашена. Кривую Пашена (см. рис. 8.1), отражающую зависимость U_з от pd, называют характеристикой зажигания разряда. Выражая  из условия зажигания разряда (μ =1) с учетом (8.21) и подставляя в выражение (8.22а), можно получить:

E/p=B/(C+ln(pd)),

где C=ln(A/ln(1/γ+1))). Приняв U_з = Ed, найдем зависитость напряжения зажигания от pd:

U_з=Bpd/(C+ln(pd)),

Которая и описывается кривыми Пашена. Важно, что существенны не p, d, E «отдельно», а «комбинации» pd (т. к. p = n_gT_g, где n_g и T_g – плотность и температура газа, если T_g = const, то pd определяет число ионизующих столкновений на пробеге d),и особенно E/p, т. е. как бы «напряженность поля на одну частицу газа». Минимум U_з соответствует (pd)min:

, (24)

где ≈2.72 – не заряд электрона, а основание натурального логарифма.

Соответствующее минимальное напряжение зажигания U_{з min} = B(1-С) зависит только от сорта газа и материала катода, минимум отношения (E/p)_min = B зависит только от сорта газа. Столетов, исследуя фотоэлектронную эмиссию, стремился подобрать давление газа для максимального фототока. Он обнаружил, что если уменьшать давление, то сила тока сначала увеличиваемся, а затем уменьшается, т. е. существует максимум тока по давлению. Если при этом менять от опыта к опыту разность потенциалов между катодом и анодом, то максимум тока всегда соответствует одному и тому же E/p. Проделав приведенные выше рассуждения, Таунсенд дал объяснение этому экспериментальному факту и назвал это эффектом Столетова, а значение (E/p)_min впоследствии назвали константой Столетова.

Расчеты удовлетворительно совпадают с экспериментальными кривыми Пашена (см. рис. 8.1). Описательно кривые Пашена можно понять так: с уменьшением (pd) медленно растет E/p (правая ветвь на рис. 8.1), значит, растет Y_i и для пробоя достаточно меньших U_з, и так до U_{з min}. Дальнейшее уменьшение pd (левая ветвь) приводит к быстрому уходу электронов (мало столкновений) и для компенсации этого необходим быстрый рост E/p т. е. потенциала пробоя U_з. Можно дать описание этой зависимости при фиксированном значении одной из величин p или d. Пусть давление уменьшается при постоянном d. Тогда с уменьшением давления увеличивается длина свободного пробега, т. е. увеличивается набираемая электроном энергия, а значит растет α. Далее с уменьшением p резко снижается число столкновений и α уменьшается. При постоянном давлении с уменьшением расстояния d увеличивается α, так как растет электрическое поле. Затем с уменьшением d коэффициент Таунсенда снижается из-за уменьшения длины развития лавины. Также описательно можно понять эмпирическую зависимость Таунсенда (8.22) и кривые Пашена (рис. 8.1)