- Релятивистский инвариант.

По существу это закон сохранения энергии - импульса, заменивший закон сохранения энергии и закон сохранения импульса.

Заметим, что . Вообще говоря, знак минус перед выражением для полной энергии свободной частицы имеет физический смысл: море частиц с отрицательной полной энергией ненаблюдаемо; вырывая из этого моря одну частицу и переводя ее в состояние с положительной энергией, мы можем наблюдать не только эту частицу, но и оставшееся свободное место – античастицу (модель Дирака).

Гамильтониан свободной релятивистской частицы

(Вывод можно пропустить.)

Гамильтонианом (функцией Гамильтона) свободной частицы называют ее энергию, выраженную через ее импульс ( , поэтому только через импульс).

Для свободной частицы .

,

,

 .

Вспоминаем: - скорость.

Следовательно (для свободной частицы): .

Отсюда: Умножаем на и складываем: .

Импульс ультрарелятивистских частиц, : .

Энергия ультрарелятивистских частиц: .

Направление импульса совпадает с направлением скорости: ;

энергия фотона , следовательно, импульс фотона .

Примечание

Если частица находится в потенциальном поле, то сохраняется ее полная энергия: энергия покоя + кинетическая + потенциальная, т.е.

.

Гамильтониан: .

О взаимосвязи массы и энергии

Соотношение рассматривалось А. Эйнштейном как самый значительный вывод СТО.

Однако величина изменения массы при изменении энергии (в неядерных масштабах) – мала.

Пример 1

При соударении и слиянии двух частиц, каждая массой =1 г, имеющих равные и противоположно направленные скорости =10⁵ см/с, добавочная масса покоя слипшейся пары будет:

; - за пределами погрешности взвешивания.

Пример 2

Атом водорода состоит из электрона, связанного с протоном. Его масса покоя ( ) должна быть меньше суммы масс протона ( ) и электрона ( ) на величину, соответствующую энергии связи ( =13.6 эВ):

=13.6 [эВ]/ =2210^-12 [эрг] / 910²⁰ [см²/с²]=2.410^-32 г.

Измеренная масса атома водорода =1.6733810^-24г. Значит, - за пределами погрешности измерения.

Пример 3

Сумма масс покоя протона ( ) и нейтрона ( ):

г = 3.347310^-24 г.

Экспериментально найденная масса покоя дейтрона (ядро тяжелого изотопа водорода – дейтерия) 3.3433410^-24г.

Энергия связи ядра (т.е. дейтрона): .

(3.3473-3.34334)10^-24 г = 3,96 10^-27г.

3,9610^-27 [г]910²⁰ [см²/с²] = 3.5610^-6эрг = 2.225 МэВ.

Измеренное значение энергии связи нейтрона в дейтроне 2.234 МэВ.

Пример 4

Важнейшим источником энергии Солнца и большинства звезд является ядерное сжигание протонов с образованием He. В этом процессе суммарное изменение в одном акте синтеза равно ( =9.10953410^-28 г = 0.5110034 МэВ).

В каждом акте синтеза выделяется, следовательно, ~25МэВ.

Полная энергия системы частиц

(Дополнительный материал, знать определения.)

,

- полная масса системы, которую хотим узнать,

- суммарный импульс всех частиц системы.

А. Невзаимодействующие частицы

Для системы невзаимодействующих частиц суммарная (полная) энергия системы равна сумме полных энергий каждой из частиц:

- этим выражен тот факт, что частицы между собой не взаимодействуют.

Подставим:

.

Перейдем в такую систему отсчета, в которой полный импульс системы равен нулю (система центра масс).

Тогда , или .

Энергия отдельной частицы: .

Тогда .

Масса покоя системы невзаимодействующих частиц превосходит сумму масс покоя составляющих частиц на величину полной кинетической энергии системы (в единицах массы, т.е. деленную на ), вычисленную в системе отсчета, где полный импульс системы равен нулю.

Б. Взаимодействующие частицы

В системе центра масс ( ) с учетом ,

где - энергия взаимодействия частиц, получаем:

.

Так как , то

- полная масса системы взаимодействующих частиц.

Примечание

Состояние любой системы частиц всегда характеризуется соотношением между кинетической и потенциальной энергиями системы. Например,

- газ; - кристалл (или вообще любая связанная система);

- жидкость.

Если возвратиться к нашему случаю, то при условии (связанная система):

.

В системе взаимодействующих частиц всегда полная масса системы отличается от суммы масс составляющих систему частиц, и разность называется

дефектом массы.

Дефект массы определяют как разность суммарной и полной масс системы:

.

Для устойчивой системы (действуют силы притяжения) и . Если энергии связи значительны (например, в атомных ядрах), то по дефекту масс можно определить энергию связи частиц.