2.10. Разбиения и отношения эквивалентности
В реальных задачах большие множества часто разбиваются на определенные подмножества (классы) так, чтобы все интересующие нас ситуации можно было исследовать на небольшом числе правильно подобранных примеров.
Определим этот процесс образования классов математически.
Пусть
A — непустое множество и {Ai} —
совокупность подмножеств A (i=1, 2, ..., n, n
N)
таких, что
.
Совокупность этих подмножеств называется покрытием A.
Пример 2.15.
{A, B} является покрытием A B.
{A, A B, B, C} является покрытием A B C.
Если рассмотреть покрытие, то видно, что можно обеспечить полноту рассмотрения свойств, так как каждый элемент множества A вложен по крайней мере в одно из подмножеств покрытия. Однако эта полнота не исключает дублирования, поскольку каждый элемент может входить в два и более подмножества. Исключение дублирования делается через требование попарной непересекаемости подмножеств. Таким образом, мы приходим к понятию разбиения.
Разбиением непустого множества A называется совокупность подмножеств P(A) таких, что объединение всех элементов P(A) совпадает с A и все элементы P(A) взаимно не пересекаются (т.е. A разбито таким образом, что каждый элемент A содержится только в одном подмножестве разбиения).
Пример 2.16.
{A, A′} является разбиением E.
{A B, A B′, A′ B, A′ B′} является разбиением E.
{A \ B, A B, B \ A} является разбиением A B.
Разбиение определяется однозначно, и части разбиения индуцируют особый род отношения (эквивалентности), которые ведут себя примерно так же, как отношение равенства между числами или между множествами. Сначала строго определим этот тип отношений.
Бинарное отношение на множестве называют отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Пример 2.17.
Равенство чисел и равенство множеств – тривиальные отношения эквивалентности. Еще несколько достаточно простых примеров.
На множестве треугольников отношение {(x, y): x и y имеют одинаковую площадь} является отношением эквивалентности.
Пусть — отношение эквивалентности на множестве A. Определим класс эквивалентности [x] для x A как множество всех элементов A, которые -эквивалентны x: [x] = {y: xy}.
Если рассматривается только одно отношение эквивалентности, можно использовать обозначение «» или реже «» («эквивалентно»). Поэтому [x] = {y: x y}.
Количество частей A, индуцируемых отношением эквивалентности (т.е. число -эквивалентных классов) называется индексом отношения эквивалентности .
Следующий пример показывает, что для проверки всего множества можно выбрать представителей (по одному от каждого класса эквивалентности) и проверку проводить для них, что упрощает вычисления.
Пример 2.18.
Пусть S – фиксированный элемент N. Определим отношение S =N, Rs на Z:
Rs = {x, y: x - y =nS, где n Z.} (x и y имеют одинаковые остатки при делении на S, если x и y одного знака)
Тогда при S =10 имеем:
[1]= {11, 21, -9, 10976631, ...}
[1066] = {66, 226, -24, ...}
Для этого отношения существует только 10 различных классов эквивалентности. Целые числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 принадлежат различным классам, следовательно, их можно использовать в качестве представителей этих классов.
Общее замечание о числах. Оказывается, такие известные всем конструкции как дроби, очень тесно связаны с отношением эквивалентности. Рассмотрим множество Z N; пару a, b мы можем рассматривать как дробь a/b. Однако одна и та же дробь может быть записана бесконечно многими способами (например, 1/2 = 2/4 = 3/6 = ...). Значит, нужно определить отношение эквивалентности на Z N следующим образом: a, b c, d a*d = b*c.
Множество всех классов эквивалентности, определяющих эти отношения на Z N, называются рациональными числами и обозначают символом Q. Обычно выбирают тех представителей классов, у которых самые малые (по модулю) a и b.