1.3. Сложные высказывания
Пусть заданы высказывания X1, X2,…, Xn (их можно назвать исходными), тогда из них с помощью вышеописанных логических операций можно образовать сложные высказывания. Для записи логической структуры таких высказываний используются логические формулы. Например, (X1 X2) X3, ((X1 X2) X3) (X1 X4) и т.п. Формулы будем обозначать следующим образом: A (X1, …, Xn), B(X1, …, Xn) и т.п.
Предложение. Если A и B – формулы, то (A), (A)(B), (A)(B), (A) (B), (A) (B) – также формулы.
Приоритет операций (для уменьшения количества скобок):
отрицание ( );
конъюнкция ( );
дизъюнкция ( );
импликация ( );
эквиваленция ( ).
Таким образом, вышеупомянутая формула может быть представлена в виде: (X1 X2 X3) (X1 X4).
Таблица истинности для сложного высказывания, записывающегося формулой A (X1, X2, …, Xn), содержит 2n строк, по числу всех возможных комбинаций значений входящих в него простых высказываний X1, X2, …, Xn. Например, для высказывания (X1 X2 ) X3 имеем:
X1 |
X2 |
X3 |
X1 X2 |
(X1 X2 ) X3 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1.4. Тождественные высказывания. Логические законы
Высказывание A (X1, …, Xn), принимающее при всех комбинациях значений входящих в него высказываний одно и то же значение, называется тождественным. Если это значение равно 1, то высказывание называется тождественно истинным (ТИ-) высказыванием. Если оно равно 0 – тождественно ложным (ТЛ-) высказыванием.
Тождественно истинные высказывания называют логическими законами, так как они истинны только в силу своей формы, независимо от содержания исходных высказываний. Тождественность высказывания доказывается составлением и проверкой его таблицы истинности.
Несколько логических законов:
1. X X закон тождества
2. X X закон исключенного третьего
3.
закон
противоречия
Высказывания A и B называются эквивалентными (равносильными), если высказывание A B является ТИ-высказыванием.
Свойства эквивалентности:
Рефлексивность: A A – ТИ-высказывание;
Симметричность: A B – ТИ-высказывание тогда и только тогда, когда B A – также ТИ-высказывание;
Транзитивность: если A B и B C ‑ ТИ-высказывания, то A C – также ТИ-высказывание.
Теорема. Если B1 – подформула формулы A и B1 – эквивалентна B2, то формула A′, полученная заменой в A B1 на B2, эквивалентна A. Таким образом, если B1B2 ‑ ТИ-высказывание, то A(B1) A(B2) – также ТИ-высказывание.
Следствие. Если A1 B1 и A2 B2 ‑ ТИ-высказывания, то
1) A1 A2 B1 B2 – ТИ-высказывание
2) A1 A2 B1 B2 – ТИ-высказывание
3) A1 A2 B1 B2 – ТИ-высказывание
4) (A1 A2) (B1 B2) – ТИ-высказывание
5) A1 B1 – ТИ-высказывание
Таким образом можно упрощать формулы, заменяя их подформулы эквивалентными; в этом смысле эквивалентность в алгебре высказываний примерно соответствует тождеству в обычной алгебре.
Еще несколько логических законов:
4.
закон двойного отрицания
5. X Y Y X закон коммутативности конъюнкции
6. X (Y Z) (X Y) Z закон ассоциативности конъюнкции
7. X Y Y X закон коммутативности дизъюнкции
8. X (Y Z) (X Y) Z закон ассоциативности дизъюнкции
9. X Y Z (X Y) (X Z) |
законы дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции и дизъюнкции относительно конъюнкции |
10. X (Y Z) X Y X Z |
11.
|
законы де Моргана |
12.
|
Если ТИ-высказывание обозначить через И, а ТЛ-высказывание – через Л, то верны следующие четыре закона:
13. X И X
14. X Л Л
15. X И И
16. X Л X
17. X X X |
законы сокращений |
18. X X X |
19. (X Y) X Y
20.
закон контрапозиции
21. (X Y) (X Y) (Y X)