1.5. Необходимые и достаточные условия. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы

Обычно каждая математическая теорема выражена в форме импликации. Если теорема верна, то выражающая ее импликация является истинным выска­зыванием.

Если A  B является истинным высказыванием, то истинность высказывания A называется достаточным условием для истинности высказывания B, а истинность высказывания B называется необходимым условием для истинности высказывания A.

Пример 1.1.

Утверждение «если число делится на шесть, то оно четно» верно. Таким образом, четность числа является необходимым условием делимости на шесть, но не достаточным (например, 14, 16, 22 являются четными, но не делятся на шесть). Делимость же на шесть достаточна для четности числа, так как делимость на шесть эквивалентна делимости на два (то есть четности) и делимости на три. 

Теоремы, записанные в виде импликаций A  B и B  A называются взаимно обратными; одна из этих теорем (все равно какая) называется прямой, а другая – обратной.

Если прямая и обратная теоремы истинны, то истинность высказывания A является необходимым и достаточным условием истинности высказывания B и наоборот.

Из логического закона 21 следует, что из истинности прямой и обратной теорем вытекает, что условие и заключение каждой из них являются эквивалентными.

Теоремы, записанные в виде импликаций A  B и  , называются взаимно противоположными.

Из логического закона 20 (закон контрапозиции) следует, что

Таким образом, прямая теорема и теорема, противоположная обратной (а также обратная и противоположная прямой), или обе истинны, или обе ложны. В результате доказательство необходимости и достаточности условия сводится к доказательству или пары взаимно обратных теорем, или пары взаимно противоположных теорем.

1.6. Понятие предиката. Кванторы всеобщности и существования

В каждом высказывании есть подлежащее и сказуемое, т.е. объект и предикат (свойство объекта). Множество объектов, для которых может быть определен данный предикат, образуют поле предиката М.

Иными словами, предикат – это функция Р(х), определенная на М со значениями «истина» или «ложь». Например, в высказывании «3 – положительное число» можно выделить объект – число «3» и его свойство – «быть положительным». Учитывая, что объектом могут быть и другие числа, можно обозначить этот объект через «х», а его свойство быть положительным – через Р(х). Тогда исходное высказывание можно записать как Р(3), а его значение будет «истина». В качестве поля М этого предиката можно рассмотреть, например, множество целых чисел. При этом для некоторых объектов из поля М предикат Р принимает значение «ложь». Например, Р(-1)=0, т.к. высказывание «-1 – положительное число» ложно.

Если в предложении содержится утверждение о нескольких объектах и отношениях между ними, то оно может быть записано с использованием многоместного предиката. Например, высказывание «3 > 0» («3 больше 0») может быть формализовано не только с помощью одноместного предиката Р(х) («х > 0»), но и двухместного предиката Р(х, у) («х > y»).

Пример 1.2.

На множестве N натуральных чисел можно определить предикаты:

• тождества: E(a₁, a₂ ) = 1  a₁ = a₂

• порядка: Q(a₁, a₂ ) = 1  a₁  a₂

• делимости: D(a₁, a₂ ) = 1  a₁ делится на a₂

• суммы: S(a₁, a₂, a₃ ) = 1  a₁ + a₂ = a₃

• произведения: П(a₁, a₂, a₃ ) = 1  a₁ a₂ = a₃

При построении предикатов используются:

1) обозначения предикатов P₁, …, P_n

2) объекты (предметные переменные) x, y, z, …

3) логические операции ,  , , , 

4) разделительные скобки ( )

Для того, чтобы характеризовать свойства не каждого отдельного объекта, а всей их совокупности (всего поля предиката), используются кванторы. Наиболее распространенными являются квантор общности (обозначается ) и квантор существования (обозначается ) (от перевернутых первых букв английских слов All – все и Exist – существует).

Переход от P(x) к xP(x) называется навешиванием квантора общности по предметной переменной x.

При этом переходе предикату P(x) ставится в соответствие высказывание xP(x) (читается: «для всякого x имеет место P(x)»), которое по определению является истинным тогда и только тогда, когда высказывание P(a) истинно для любого a M.

Переход от P(x) к xP(x) называется навешиванием квантора существования по предметной переменной x.

При этом переходе предикату P(x) ставится в соответствие высказывание xP(x) (читается: «существует такое x, что имеет место P(x)»), которое по определению является истинным тогда и только тогда, когда высказывание P(a) истинно хотя бы для одного a M.

Замечание. Квантор общности можно рассматривать как обобщение операции конъюнкции P(a₁)  …  P(a_n), а квантор существования – дизъюнкции P(a₁)  …  P(a_n), где M = {a₁, …, a_n}. Поэтому можно записать обобщения законов 11, 12):

 x

 x

Пример 1.3.

Определим на множестве N предикат P, полагая P(a)=1 тогда и только тогда, когда a – простое. Тогда xP(x) есть высказывание «всякое натуральное число является простым» (ложное), xP(x) – «существует натуральное число, являющееся простым» (истинное). 

Замечание. В высказываниях xP(x) и xP(x) говорится не о свойствах x, а о свойствах N, поэтому какую бы предметную переменную ни взять (yP(y), zP(z) и т.п.), смысл останется прежним.

Распространим навешивание кванторов на n-местные предикаты.

Пусть на множестве M задан предикат P(x₁ , …, x_n), и n>1. Навесим кванторы по x₁, тогда истинностные значения предикатов для фиксированных наборов значений предметных переменных x₂ , …, x_n определятся так:

x₁P(x₁, a₂, … ,a_n) =

x₁P(x₁, a₂, … ,a_n) =

Далее мы видим, что предикаты x₁P(x₁,x₂, … ,x_n) и x₁P(x₁, x₂, … ,x_n) не зависят от x₁, но при n>1 они являются функциями от n-1 переменных x₂, … ,x_n. Следовательно, можно продолжить навешивать кванторы по x₂ : . x₂(x₁P(x₁, x₂, … ,x_n)) и т.п. В общем случае, если _i означает квантор  или  и навешивание производится k раз (k  n), имеем:

₁x₁(₂x₂(…(_kx_kP(x₁, …, x_k, x_k+1, …, x_n))…)

Переменные x₁, …, x_k называются связанными, а x_k+1, …, x_n – свободными. При замене x_k+1, …, x_n элементами множества M предикат обращается в истинное или ложное высказывание. При k = n предикат «автоматически» становится высказыванием.

Пример 1.4.

Рассмотрим предикат D (делимости), определенный на N (см. пример 1.1). Выражение x₁D(x₁, x₂) является одноместным предикатом относительно переменной x₂ и означает "любое натуральное число делится на x₂". Выражение x₁D(x₁, 2) является высказыванием (ложным) и означает "любое натуральное число делится на 2".

Пример 1.5.

Рассмотрим предикат D (делимости), определенный на N (см. пример 1.1). Имеем восемь видов операций навешивания кванторов:

№ п/п	Предикат	Словесное описание	Истинность
1.	x1D(x1, x2)	Всякое x1 делится на x2	Истинно только для x1 = x2
2.	x1D(x1, x2)	Существует x1, которое делится на x2	Истинно для любого x2  N
3.	x1x2D(x1, x2)	Для всяких x1 и x2 имеет место делимость x1 на x2	Ложно
4.	x2x1D(x1, x2)	Для всякого x1 и всякого x2 x2 является делителем x1	Ложно
5.	x1x2D(x1, x2)	Существует x1, которое делится на всякое x2	Ложно
6.	x2x1D(x1, x2)	Для всякого x2 существует x1 такое, что x1 делится на x2	Истинно
7.	x1x2D(x1, x2)	Для всякого x1 существует x2 такое, что x1 делится на x2	Истинно (x2 можно взять равным x1)
8.	x2x1D(x1, x2)	Существует x2, которое является делителем всякого x1	Истинно (таким x2 является единица)



Из рассмотренных примеров видно, что в общем случае изменение порядка следования кванторов изменяет смысл высказывания, а значит, и его истинностное значение (можно сравнить, например, пятую и шестую строки).