4.6. Обратная матрица

В алгебре чисел существует понятие обратного числа. Число называется обратным к числу , отличному от нуля, если .

Поскольку умножение матриц допустимо не при любых их размерах, понятие обратной матрицы вводится лишь для квадратной матрицы и определяется следующим образом.

Матрица называется обратной к квадратной матрице порядка n, если

Легко видеть, что и обратная матрица и единичная матрица E должны иметь тот же порядок n, что и сама матрица A. Кроме того, поскольку умножение матриц в общем случае не коммутативно, то введенное в определение, совпадение левой и правой обратных матриц, умножаемых слева и справа на A, нуждается в доказательстве. Действительно,

Можно доказать, что необходимым и достаточным условием существо­вания обратной матрицы является ее невырож­денность, то есть отличие ее определителя от 0. Это утверждение также следует из формулы, по которой можно найти обратную матрицу.

, где

– присоединенная матрица, элементы которой получаются транспонированием матрицы алгебраических дополнений элементов исходной матрицы А.

.

Пример 4.12.

Найти обратную матрицу к матрице A.

, так как

Тогда



4.7. Ранг матрицы

Минором порядка k матрицы A размера mn называется определитель матрицы, полученной из A выделением произвольных k ее строк и k столбцов.

Очевидно, что km, kn.

Рангом r(A) матрицы A размера mn называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Естественно, что r(A)m, r(A)n.

Ранг нулевой матрицы равен 0.

Ранг диагональной матрицы порядка n равен числу ее ненулевых элементов.

Пример 4.13.

Найти ранг матрицы A.

Единственный минор третьего порядка , т.к. первая строка состоит из нулей. Существует минор второго порядка – минор элемента , отличный от нуля,

.

Следовательно, r(A)=2. 

Можно доказать, что при элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не изменяется.

С помощью элементарных преобразований матрица может быть приведена к ступенчатому виду.

.

Если при всех i, то ранг ступенчатой матрицы равен r.

Пример 4.14.

Найти ранг матрицы A, приведя ее к ступенчатому виду.

Поместим сумму первой и второй строк во вторую строку

(1)+(2)  (2)

а теперь разность третьей и второй – в третью

(3) - (2)  (3) .

Вычтем теперь из второй строки утроенную первую.

(2) - 3(1)  (2)

Удалив последнюю нулевую строку, получим ступенчатую матрицу

Ранг этой матрицы, а, следовательно, и ранг матрицы A равен 2. r(A)=2. 

4.8. Системы линейных уравнений

Широкий класс практических задач сводится к системам линейных уравнений. Простейшим примером такой системы является система двух уравнений с двумя неизвестными и .

В общем случае система двух линейных уравнений с двумя неизвестными записывается в виде

.

Можно ввести следующие обозначения

Тогда легко видеть, что результатом умножения матрицы A размера 2х2 на вектор-столбец x размера 2х1 будет вектор столбец размера 2х1, равный

Тогда исходную систему линейных уравнений можно записать в матричном виде

Легко видеть, что такая запись будет справедлива при любом числе уравнений и любом числе неизвестных, причем число уравнений и число неизвестных необязательно должны совпадать.

Умножив это равенство слева на обратную к A матрицу, получим

Учитывая, что , получим решение системы линейных уравнений в матричном виде

Пример 4.15.

Записать и решить систему уравнений

в матричном виде.

.

,

Решение системы линейных уравнений



На практике для решения систем m линейных уравнений c n неизвестными

применяется метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных. Поскольку никаких ограничений на число уравнений и число неизвестных, а также зависимость уравнений не накладывается, решение системы может не существовать, или быть единственным, или система может иметь множество решений. Для сокращения записи работают не с самой системой, а с ее расширенной матрицей, которая получается путем присоединения в конец матрицы системы столбца свободных членов

Затем над расширенной матрицей производятся элементарные преобразования ее строк, перечень которых приведен выше, с целью ее приведения к ступенчатому виду. Очевидно, что элементарные преобразования строк расширенной матрицы соответствуют равносильным преобразованиям системы линейных уравнений, поэтому система линейных уравнений, записанная по ступенчатой расширенной матрице, полученной в результате преобразований, будет иметь то же решение, что и исходная система, либо они обе не будут иметь решения.

Как было указано выше, при элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не меняется. Очевидно, что ранг r матрицы A не может быть больше ранга расширенной матрицы , он также не может больше n, числа неизвестных в системе. Приводя расширенную матрицу к ступенчатому виду, мы приводим к ступенчатому виду и матрицу системы, что дает возможность легко определить ранги обеих матриц. Имеет место следующая

Теорема. Система линейных уравнений имеет решение, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, причем, если он равен и числу неизвестных, то решение – единственное. Если ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы системы, то система решения не имеет (см. табл. 1).

Таблица 1

№ п/п	Условие	Количество решений системы
1		Единственное решение
2		Множество решений
3		Решений нет

В случае 2 множество решений можно описать, перенеся переменных системы уравнений в правую часть равенств. Тогда остальные переменные будут однозначно выражаться в виде линейных комбинаций свободных переменных, к которым добавлены некоторые константы.

Пример 4.16.

Решить систему уравнений

Приводим к ступенчатому виду

(1)+(2)  (2)

(3) - (2)  (3) .

(2) - 3(1)  (2)

Из вида следует, что r=2, (так как минор третьего порядка составленный из первого, второго и четвертого столбцов , не равен нулю). Следовательно, данная система решений не имеет. Это становится очевидным, если расписать в виде уравнения третью строку .

.

Это равенство не будет верным ни при каких значениях переменных .

Пример 4.17.

Решить систему уравнений

Делая те же преобразования, что и в предыдущем примере, получим

.

Мы видим, что . Следовательно, система имеет множество решений. Для упрощения нахождения решения удобно иметь ненулевые элементы главной диагонали расширенной матрицы, равные 1. Умножим вторую строку на .

Считая свободной переменной, выразим через нее .

.

Пример 4.18.

Решить систему уравнений

Вычтем из второй строки удвоенную первую, а из третьей – сумму первой и второй

(2) - 2(1) (2), (3) - (1) - (2) (3) .

Умножим вторую строку на .

Для этой матрицы . Поэтому система имеет единственное решение. Для его нахождения можно привести расширенную матрицу к виду, когда матрица системы – единичная. Для этого из первой строки вычтем удвоенную третью, а ко второй – прибавим третью.

(1)-2(3) , (2)+(3) (2) .

Решение этой системы

