4.5. СВойства определитеЛей и элементарные преобразования матриц

Сформулируем свойства определителей, которые могут быть полезны при вычислении определителей.

1. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы равны 0, то ее определитель равен 0.

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то ее определитель также умножится на .

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.

4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5. Если матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

7. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

Первые три свойства очевидно следуют из формул разложения.

При доказательстве свойства 4 сначала предположим, что мы меняем местами соседние строки. Тогда миноры элементов этих строк при такой перестановке не изменятся. В то же время номер строки изменится на 1 (у одной строки увеличится, а у другой возрастет). При разложении определителя по одной из этих строк мы получим, что все знаки алгебраических дополнений поменялись на противоположные, а миноры не изменились. Таким образом, определитель поменял свой знак.

Теперь пусть строки, меняющиеся местами, разделяет k строк. Тогда, чтобы поднять нижнюю из нужных строк к верхней нужно сделать k ее перестановок со строкой, которая находится непосредственно выше. (k+1)-ая перестановка поменяет местами нужные строки, которые будут соседними. Еще k перестановок нужно, чтобы опустить на k строк вниз меняющуюся местами строку, которая раньше была верхней. Всего, таким образом, необходимо сделать 2k+1 перестановок соседних строк, каждая из которых меняет знак определителя на противоположный. В результате знак определителя должен поменяться.

Свойство 5 следует из свойства 4. Действительно, при перестановке двух одинаковых строк матрица, а следовательно и ее определитель, не изменяются. С другой стороны, по свойству 4 у определителя должен измениться знак. То и другое возможно лишь когда определитель равен нулю.

Свойство 6 следует из свойства 2 и свойства 5. Действительно, умножая все элементы одной из строк на коэффициент пропорциональности, мы умножаем определитель на этот коэффициент, но получаем определитель с равными строками, и, следовательно, равный нулю. Значит, и исходный определитель был равен нулю. 

Квадратная матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной.

Рассматривая свойства определителей, можно заметить, что многие из них имеют следующий вид: «при некотором преобразовании матрицы с определителем происходит следующее …». Дело в том, что преобразования матриц (не только квадратных) широко используются при решении различных задач линейной алгебры. Некоторые такие преобразования, получившие название элементарных, достаточно просты и являются частью других, более сложных преобразований. В число элементарных входят следующие преобразования.

1. Транспонирование матрицы.

2. Перестановка двух строк (столбцов).

3. Сложение элементов одной строки (столбца) с элементами другой строки (столбца), умноженными на одно и то же число (в частности, вычитание строк).

Элементарные преобразования 1–3 квадратной матрицы не изменяют значения ее определителя.

4. Умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на число  .

Это преобразование квадратной матрицы увеличивает ее определитель в  раз.

5. Вычеркивание нулевой строки.

Это преобразование изменяет размер матрицы.