3.2. Ориентированные графы

Во многих задачах требуется учитывать направление ребер графа, поэтому естественно введение понятия ориентированного графа.

Ориентированный граф (орграф) G есть пара V, E , где V – конечное множество вершин, а E (множество дуг) – произвольное подмножество VV.

Замечание. В орграфе в отличие от простого графа (см. п. 3.1) требуется упорядоченность вершин в дугах (то есть направление). Таким образом,

1) направление дуги орграфа обозначается порядком в VV; например, если v, w   E , то говорят, что дуга выходит из v и входит в w. На диаграмме орграфа направление дуги показывается стрелкой.

2) допускается дуга вида v, v, которая называется петлей.

3) матрица смежности орграфа не обязательно симметрична и на главной ее диагонали могут стоять не только нули, но и единицы.

Пример 3.3.

Пусть V={v1, v2, v3} и E1={v1, v2, v2, v3, v3, v1}. Тогда матрица смежности и изображение орграфа G1=V, E1 будут такими:

Аналогично, ниже приводятся матрица смежности и диаграмма графа G2=V, E2, где E2={v1, v1, v1, v2, v1, v3, v2, v3, v3, v1} :



Ориентированным маршрутом длины k из v в w в орграфе G=V, E называется последовательность дуг вида v, w₁, w₁, w₂, …, w_k-2, w_k-1, w_k-1, w, где вторая вершина каждой дуги совпадает с первой вершиной следующей.

Ориентированный маршрут удобно представить последовательностью вершин v, w₁, w₂, …, w_k-2, w_k-1, w, которые его определяют.

Путь – ориентированный маршрут, не содержащий повторяющихся дуг.

Контур – замкнутый путь

Если v=w, то маршрут называется замкнутым маршрутом или циклом. Орграф без циклов называется ациклическим.

Орграф G=V, E называется сильно связным, если для каждой пары различных вершин v и w существует путь из v в w и путь из w в v.

Пусть G=V, E – ориентированный граф без контуров. Вершину v V называют листом, если из v не выходит ни одной дуги.

Если v, w E, то v является непосредственным предком w, а w – непосредственным потомком v .

Если существует маршрут из v в w , то говорят, что v является предком w , а w ‑ потомком v .

Пример 3.4.

Для ориентированного графа без контуров

из вершин v₂, v₄ и v₅ дуги не выходят (то есть они являются листьями), v₃ и v₁ являются непосредственными потомками v₂ , v₁ является предком v₅ , v₅ является непосредственным (прямым) потомком v₃ и т.п. 

Ориентированным деревом T=(V,E) называется ациклический орграф, в котором одна вершина v_r  E не имеет предков, а каждая другая вершина имеет только одного непосредственного предка; v_r называется корнем дерева.

Обозначим через Lv список вершин, смежных с v (список смежности); Lv определяет «порядок» вершин, выходящих из v.

Множество V={v₁, …, v_n} вершин вместе с множеством {L_v1, …, L_vn} упорядоченных списков упорядоченных пар вершин называется упорядоченным графом.

Наложим условия на списки L_v, чтобы рассматриваемые структуры были графами (упорядоченность пар вершин будем отмечать угловыми скобками):

а) для любого v V : <v, v>  L_v;

б) из того факта, что <w, u>  L_w , следует, что <u, w>  L_u.

Упорядоченный орграф – пара G = <V, E>, где V – конечное множество вершин, а E – множество упорядоченных списков ориентированных ребер. Элементы E имеют вид: L_v = <<v, w₁>, … , <v, w_k>>

Пример 3.6.

Упорядоченный орграф

G= <{v₁, v₂, v₃, v₄}, {<<v₁, v₂>, <v₁, v₄>, <v₁, v₁>>, <<v₂, v₄>, <v₂, v₃>>}>

может быть изображен следующей диаграммой:



Частный случай упорядоченного орграфа – упорядоченное ориентированное дерево.

Пример 3.7.

T = <{v₁, …, v₆}, {<<v₁, v₂>, <v₁, v₃>>, <<v₃, v₄>, <v₃, v₅>, <v₃, v₆>>}>

является упорядоченным ориентированным деревом, где v₁ – корень:

