99

Введение

Предлагаемое Вашему вниманию учебно-методическое пособие предназначено для слушателей РАГС, изучающих курс математики. Оно содержит разделы по математической логике, дискретной математике и линейной алгебре, входящие в программу изучения этого курса. Поскольку пособие, в первую очередь, нацелено на развитие логического мышления и формирование навыков решения задач у слушателей, то в нем помещены краткие теоретические сведения (необходимые математические понятия и приводимые иногда без доказательств теоремы), а также большое количество иллюстрирующих их примеров. Пособие содержит весь материал, необходимый для выполнения задания по математике по вышеуказанным разделам, однако не заменяет учебников в части теории.

Несколько слов об обозначениях, принятых в данном пособии. Основные определения помещаются в рамки, выделяются курсивом, а вводимое понятие – жирным шрифтом. Вводимые обозначения отмечаются вертикальной чертой по левому полю. Примеры начинаются с заголовка «Пример», нумерация их составная: номер раздела, затем номер примера в данном разделе. Текст примеров набран курсивом более мелким шрифтом и завершается символом «». Этот же символ используется для завершения текста отдельных утверждений типа теорем.

1. Математическое мышление и элементы математической логики

Логика – наука, описывающая процессы умозаключений и законы, которые позволяют из истинности одних суждений делать заключения об истинности или ложности других суждений, независимо от их конкретного содержания.

Например, из истинности суждений «А есть В» и «В есть С» следует истинность суждения «А есть С» независимо от того, какие объекты обозначены буквами А, В и С (закон силлогизма).

Место логики в математике: 1) логика – базис развития математических теорий (прежде всего дедуктивных теорий, т.е. аксиоматических теорий со строго определенными логическими средствами), позволяющий выяснить их общие свойства (непротиворечивость, полноту, разрешимость и т.п.); 2) логика – средство преподавания математики, выработки у учащихся навыков точного мышления; с помощью логики вводится понятие доказательства ‑ основа основ изучения математики, устанавливаются взаимосвязи между теоремами (взаимно обратными, взаимно противоположными), вводится понятие логического следования, необходимых и достаточных условий и т.п.

1.1. Высказывания

Высказывание – повествовательное предложение, о котором объективно и определенно можно сказать, истинно оно либо ложно.

Например, высказываниями являются следующие утверждения: «параллелограмм имеет четыре вершины», «число 25 делится на 5», «в России зимой день короче, чем летом» и т.п.

Высказывание будем обозначать большими латинскими буквами (фиксированные высказывания – А, В, С, …, произвольные высказывания – X, Y, Z), а значения истинности высказывания – 1 (истина) и 0 (ложь).

1.2. Операции над высказываниями

Рассмотрим высказывания А и В.

Отрицанием называется высказывание («не »), которое истинно, когда ложно, и ложно, когда истинно.

Можно определить эту операцию таблицей истинности:

0	1
1	0

Конъюнкцией (от лат. conjunctio – союз, связь) высказываний и называется высказывание (« и »), истинное в том и только в том случае, когда оба высказывания и истинны.

Таблица истинности конъюнкции:

0	0	0
1	0	0
0	1	0
1	1	1

Строки таблицы истинности соответствуют всем возможным комбинациям значений высказываний и .

Дизъюнкцией (от лат. disjunctio – различие) высказываний и называется высказывание (« или »), ложное в том и только в том случае, когда оба высказывания и ложны.

Иначе: для истинности дизъюнкции необходимо и достаточно, чтобы истинным было хотя бы одно из высказываний или .

Таблица истинности дизъюнкции:

0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	1

Импликацией (от лат. implico – тесно связаны) высказываний и называется высказывание (« влечет », «из следует », ложное в том и только в том случае, когда истинно, а ложно.

Смысл этого определения: рассуждение является логичным ( истинно), если зная, что высказывание истинно, мы можем заключить, что тоже истинно.

Таблица истинности импликации:

0	0	1
1	0	0
0	1	1
1	1	1

Эквиваленцией высказываний и называется высказывание (« эквивалентно », « тогда и только тогда, когда »), истинное в том и только в том случае, когда высказывания и оба истинны или оба ложны.

Таблица истинности эквиваленции:

0	0	1
1	0	0
0	1	0
1	1	1