Теорема2.(о производной сложной функции)

Пусть у=f(u) и u=Y(x) имеют производные в точках u₀ и х₀ соответственно причём u₀=Y(x₀), то y=F(x)=f(Y(x)) имеет производную в точке х₀ и

F(x₀)=f(Y(x₀))=f(u₀)Y(x₀).

Доказательство. Из(1) f=f(u₀)u+₁(u)u, (4)

Y=Y(x₀)x+₂(x)x, (5)

₁(u)-бесконечно малая при u ₂(х)-бесконечно малая при х

Т.к. функция u=Y(x) имеет производную в точке х₀ то Y(x) непрерывна в точке х₀ следовательно при х u=Y(x),т.е.₁(u) будет бесконечно малой при х.

Разделим (4) на х получим =f(x₀) +₁(u) , u=Y(x), значит

=f(x₀) +₁(Y) .

Перейдём к пределу при х

lim =F(x)=f(u₀)lim +lim₁(Y) =f(x₀)Y(x₀)+0=f(x₀)Y(x₀).

Определение4. Пусть у=f(x) определена, непрерывна и строго убывает (возрастает) в некоторой окрестности точки х₀ тогда существует функция х=f ^-1(y)- которая называется обратной к у=f(x) в некоторой окрестности точки у₀₌f(x₀) при этом f(f^-1(y))=y, f^-1(f(x))=x.

Теорема3.(Производная обратной функции).

Пусть у=f(x) имеет производную в точке х₀ и х=f^-1(y)- обратная к y=f(x₀) тогда функция х=f^-1(у) имеет обратную в точке у₀=f(x₀) и(f^-1(y₀)=

Дифференцированием будем называть процесс нахождения производной.

Теорема.(правила дифференцирования).

Если существуют производные U(x) и V(x) то

1) (C)=0

2) (U(x)V(x))=U(x)V(x)

3)(U(x)V(x))=U(x)V(x)+U(x)V(x)

4) =

5) (CU(x))=C(U(x))

Доказательство.

1) у=f(x)=C=const

Пусть х получил приращение х тогда f(x+x)=C, значит y=f(x+x)-f(x)=C-C=0.

Следовательно C=lim =lim =0

2) Пусть Y=U(x)V(x)

Y=Y(x+x)-Y(x)=(U(x+x)V(x+x))-(U(x)V(x))

Y(x)= = ( )=  =U(x)V(x)

3) Пусть Y(x)=U(x)V(x)

Y(x)=Y(x+x)-Y(x)=U(x+x)V(x+x)-U(x)V(x)=(U(x+x)V(x+x)-U(x)V(x+x))

+(U(x)V(x+x)-U(x)V(x))=(U(x+x)-U(x))V(x+x)+U(x)(V(x+x)-V(x))=

=UV(x+x)+U(x)V

Y(x)= = ( V(x+x)+U(x) )= V(x+x)+ U(x) =

V(x+x)+ U(x) =U(x)V(x)+U(x)V(x).

Здесь V(x+x)=V(x), т.к. из существования производной V(x) следует непрерывностьV(x), а равенство следует из определения непрерывности.

4) Пусть Y(x)=

Y=Y(x+x)-Y(x)=

=

=

Y(x)= = ( V(x)-U(x) )= 

( V(x)- U(x) )= (U(x)V(x)-U(x)V(x))=

= .

Равенство V(x+x)=V(x) следует из непрерывности функции y=V(x), а непрерывность следует из существования производной.

5) (CU(x))=CU(x)+CU(x)=0U(x)+CU(x) =CU(x).

Таблица производных.

	C=0
	x’=1
	(xn)=nxn-1	(un)=nun-1u
	(cosx)=-sinx	(cosu)=-sinu u
	(sinx)=cosx	(sinu)=cosu u
	(tgx)=	(tgu)= u
	(ctgx)=-	(ctgu)=- u
	(arctgx)=	(arctgu)= u
	(arcctgx)=-	(arcctgu)=- u
	(arcsinx)=	(arcsinu)= u
	(arccosx)=-	(arcosu)=- u
	(ax)=axlna	(au)=aulna u
	(ex)=ex	(eu)=euu
	(logax)=	(logau)= u
	(lnx)=	(lnu)= u

1. (xⁿ)=nx^n-1 nZ, xR

(xⁿ)= (nx^n-1+ x^n-2x+…+ x(x)^n-2+ (x)^n-1) nx^n-1

Обоснуем переходы

(1)- по биному Ньютона (2) почленное деление на х (3) Cn^k x^n-kx^k при k т.к.х.

2. (сosx)=

= - sin(x+ ) -sinx

Здесь:

(1)- применили формулу разности косинусов

(2)- поделили х на 2 и умножили на 2

(3)- предел произведения равен произведению пределов

(4)- применили 1-ый замечательный предел и воспользовались непрерывностью функции у=sinx

3. (tgx)`=( )`=

4. y=arctgx xR, -2arctgx2 – обратная к функции x=tgy по теореме о производной обратной функции

(arctgx)`=

5. y=arccosx, x, 0 , y=arccosx- обратная функция для х=cosy. По теореме о производной обратной функции

(arccosx)`=

(1)- воспользовались основным тригонометрическим тождеством

cos²+sin²=1, sin²=1-cos²,

sin= , у нас =arccosx т.к. ,то sin(arccosx)0.

6. (lnx)`= ln

= ln((1+

(1)- воспользовались свойством логарифма lna-lnb=ln

(2)- воспользовались свойством логарифма k ln b=lnb^k

(3)- воспользовались 2-ым замечательным пределом и непрерывностью функции у=lnx

(4)- воспользовались тем, что lne^1/x- константа и c=с

7. (log_ax)`= . (следует из 6.)

8. у=а^х а0 а1. Прологарифмируем это равенство.

lny=lna^x; lny=xlna. Продифференцируем последнее равенство

(lny)`=(xlna)`; y`=lna откуда y`=ylna; y`=a^xlna.

Здесь (lny)`= y`- по теореме о производной сложной функции.

9.(e^x)`=e^xlne=e^x (следует из 8.)

Остальные формулы разбирает студент самостоятельно.