Часть I. Последовательности пределы производная.

П.1. Числовые последовательности и пределы.

Пусть задано такое множество ___ пронумерованных действительных чисел, что по номеру элемента мы можем назвать числовое значение данного элемента , а по числовому значению элемента его номер в данном множестве. Тогда говорят, что задана числовая последовательность.

Числовая последовательность обозначается _n или просто _n.

Существуют различные способы задания числовых последовательностей.

1 Формулой общего члена _n=ⁿ Откуда _= , ₂= , ₃= , ₄= , ₁₀₀= ,

2 перечислением элементов последовательности 1, , ,  Откуда _n=

Определение1. Число а называется пределом последовательности _n, если   n_ nn_ _n-а  Для любого положительного числа  , существует такой номер n₀ , что для всех номеров nn₀ модуль _n-а . Обозначается

Пример1. _n= . Покажем  что данная последовательность имеет своим пределом число 0. Пусть  произвольное число большее 0 ( на самом деле очень малое ). Надо найти такой номер n₀, что все элементы _n0+1, _n0+2,  _n0+k,т.е. nn₀  удовлетворяют условию _nа   (_n= , а=0 ). Решим это неравенство  -0   n  достаточно взять n₀=  целая часть числа  Тогда для всех n +1 неравенство выполняется. Следовательно

Определение2. Последовательность _n называется бесконечно малой если

, т.е.   n₀ nn₀ _n .

Определение3. Последовательность _n называется бесконечно большой, если

т.е.  n_ _nn_ _n

Пример 2. Последовательности _n=   _n=  _n=  _n= - бесконечно малые. Здесь n!=1,2,3n 0!=1, 1!=1, 2!=12=2, 3!=1 4!=1 и т.д.

Последовательности _nn {y_n}={n²},{z_n}={2ⁿ}- бесконечно большие.

Свойства предела последовательности.

1°. Если и а  r (а  r) то начиная с некоторого номера х_n r (x_n r).

Доказательство. Т.к.  то   n₀ nn₀ x_na  или  x_na  или а х_na+

Т.е. в - окрестности точки а ( в интервале ( а, а+ )) cодержатся все элементы последовательности, начиная с номера n₀+1.

Пусть аr. Т.к. - любое число, положительное, выберем его так, чтобы а-Е было больше r

а-

r а х ( Можно взять = )

Тогда  nn₀ r а-  х_n a+, т.е. х_nr Аналогично для случая а r.

2 Если последовательность имеет предел то он единственный.

3 Если х_n=у_n то

4 Если х_n у_n, то

5 Если х_n у_n, то

6 ( Лемма о двух милиционерах ) Пусть х_n у_n z_n (или х_n у_n z_n ), ,

Тогда последовательность у_n имеет предел

Доказательство. Т.к. , то    n₁ nn₁ a- x_n a+ (1)

Т.к. , то   n₂ nn₂ a- z_n  a+ (2)

Пусть n₀=max n_1, n₂ , тогда  nn₀ выполнено и неравенство (1) и неравенство (2) т.е. nn₀ a-x_n у_n z_n a+, т.е. a- у_na+, т.е.

Теорема 1. 1. (Связь между сходящимися и бесконечно малыми) Последовательность _n- бесконечно малая тогда и только тогда когда последовательность - бесконечно большая ( схематически это будет означать =.

2. Последовательность x_n- бесконечно большая тогда и только тогда когда последовательность -бесконечно малая (схематически =0).

Определение4. Последовательностьx_n называется сходящейся, если она имеет конечный предел  последовательностьx_n называется расходящейся если она не имеет предела или её предел равен . Говорят что сходящаяся последовательность сходится к числу

Теорема2. Последовательностьx_n является сходящейся (сходится к числу а) тогда и только тогда когда последовательность х_n-a-бесконечно малая.

Из этой теоремы получаем если , то a-x_n=_n, где _n- бесконечно малая тогда а=х_n+_n. Т.е.  a=x_n+,где _n-бесконечно малая.

Теорема3. (арифметические операции над сходящимися последовательностями)

Пусть ,  тогда

1. =ab

2. =ab

3. при b0 =

П.2 Предел функции.

Определение1. Число а называется пределом функции у=f(х) при х стремящемся к х₀ ( ), если для любой последовательностиx_n сходящейся к x₀ последовательностьf(x_n)=y_n сходится к а.

Из определения 1 следует, что для предела функции справедливы все теоремы, справедливые для предела последовательности.

Определение2. Число а называется пределом функции у=f(x) при х стремящимся к х₀ ( ),если    х х-х₀f(x)-a. Легко показать что определение1 равносильно определению2. Мы будем пользоваться обоими этими определениями.

Теорема1. (1-ый замечательный предел)

Доказательство.1)Пусть х0 т.е. х-угол измеренный в радианах лежащий в 1-ой четверти. Дан тригонометрический круг (окружность радиуса R=1). Рассмотрим треугольник ОАВ сектор ОАВ и треугольник ОСВ.

S_OAB S_{сектора} S_OCB

ОВ АН хR ОВСВ

O BAHxROBCB

OB=R=1, AH=sinx, CB=tgx.

Таким образом 0sinxxtgx. Поделим все части этого неравенства на sinx.

0  . Перевернём все дроби

0cosx 1. (1)

При х cosx 1.

По лемме о 2-х милиционерах при х.

2) Пусть -х0 т.е. –х-угол в IV четверти. В неравенстве (1) везде вместо х подставим -х

cos(-x)=cosx, = =

Ни одна величина в (1) не изменилась значит неравенство справедливо при хIV четверти. Теорема1 доказана.

Теорема2. (2-ой замечательный предел)

(или в равносильной формулировке ).

Теорема3. (Бином Ньютона)

, где

или в более подробной записи

(а+b)ⁿ=aⁿ+na^n-1b+C_n²a^n-2b²+C_n³a^n-3b³++C_n^n-2a²b^n-2+na^n-1b+bⁿ.

П.3 Определение производной. Таблица производных.

Определение1. Пусть у=f(x)-произвольная функция х₀-значение аргумента получило приращение х и стало равным х. х=х-х₀ (приращение может быть отрицательным) тогда функция изменила своё значение с у₀=f(x₀) до y₁=f(x₁),т.е. функцияy=f(x) получила приращение у= f(x)=f(x)-f(x₀). Если существует конечный предел , то он называется производной функции в точке х₀.

Из определения производной и теоремы о связи между сходящейся и бесконечно малой следует

=f(x₀)+(x), где (x)0 при x или f(x)=f(x₀) x+(x) x (1)

Определение2. Функция f(x) непрерывна в точке х₀ если =f(x₀) (2)

Из (1) следует что если функция имеет производную в точке х₀ то она в этой точке непрерывна.

Теорема 1. Сумма разность произведение 2-х функций, непрерывных в точке х₀, непрерывно в точке х=х₀. Частное двух непрерывных в точке х₀ функций непрерывно в точке х₀ если g(x₀) .

Доказательство этой теоремы следует из теоремы об арифметических операциях над сходящимися последовательностями (функциями) и определения непрерывной функции (формула(2)).

Определение3. Пусть даны две функции у=f(u) и U=Y(x), y=F(x)=f(Y(x)) называется их суперпозицией (у=F(x) называется сложной функцией).

Пример1. y=cosx², y=cosu, u=x²,

y=e^tgx y=e^u u=tgx