Теоремы про серединные перпендикуляры к сторонам треугольника и следствия из них

Теорема 6. Если два серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются, то и третий серединный перпендикуляр проходит через эту точку пересечения.

Следствие. Если два серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в точке О, то около такого треугольника можно описать окружность с центром в точке О.

Теорема 7. Если два серединных перпендикуляра к сторонам треугольника расходятся, то и серединный перпендикуляр к третьей стороне расходится с двумя первыми и все имеют единственный общий перпендикуляр, причем все вершины треугольника равноудалены от него.

Следствие. Если серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника расходятся, то около треугольника можно описать эквидистанту.

Теорема 8. Если два серединных ориентированных в одну сторону к сторонам треугольника перпендикуляра параллельны, то и серединный перпендикуляр к третьей стороне треугольника параллелен двум первым.

Следствие. Если серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника параллельны в данном направлении, то около такого треугольника можно описать орицикл.

Из данных теорем вытекает, что на плоскости Лобачевского около каждого треугольника можно описать одну из трех линий – или окружность, или эквидистанту, или орицикл.

Многомерная евклидова геометрия

Идея многомерного евклидова пространства очень проста. На прямой точка задается одной координатой; на плоскости – двумя координатами, в обычном (трехмерном) пространстве – тремя координатами. Дальше можно мыслить четырехмерное пространство, где точка задается четырьмя координатами, и вообще n–мерное пространство, где точка задается n координатами, а натуральное число n может быть любым данным.

Координаты можно представить себе прямоугольные, так что n координатам соответствует n взаимно перпендикулярных прямых – осей координат. В четырехмерном пространстве их четыре – к осям x,y,z добавляется ось t; оси пересекаются в начале координат О. Через каждые две оси проходит плоскость, у них только одна общая точка – начало координат. Таким образом, та аксиома, что две плоскости с общей точкой пересекаются по прямой, отпадает. Ее нужно заменить другой. А в остальном, можно сказать, аксиомы n-мерной геометрии совершенно сходны с аксиомами стереометрии. Сформулируем их.

Аксиоматика n-мерной евклидовой геометрии

Основные объекты: 1) точки, 2) отрезки, 3) плоскости.

Основные отношения: 1) точка служит концом отрезка, 2) точка лежит на отрезке, 3) точка принадлежит плоскости, 4) отрезки равны.

Аксиомы делятся на:1) линейные, 2) плоскостные, 3) пространственные. Линейные аксиомы те же, что в планиметрии; плоскостные аксиомы те же, но, как и в стереометрии, их нужно относить к каждой плоскости. Пространственных аксиом три:

Пр. 1 (аксиома плоскости). Каждые три точки принадлежат плоскости.

Пр. 2 (аксиома общей прямой). Если у двух плоскостей есть две общие точка, то они пересекаются по прямой.

Пр. 3 (аксиома числа измерений) Существует n и не более взаимно перпендикулярных прямых, т. Е. пересекающихся в общей точке и образующих попарно прямые углы (определение прямого угла то же, что в планиметрии).

Можно дать определение: n-мерная евклидова геометрия – это теория, которая строится на указанной аксиоматике; n-мерное евклидово пространство – это множество некоторых элементов – «точек», в котором выполнены указанные аксиомы, так что в нем определены отрезки и отношение их к точкам и друг к другу.

Прямые и плоскости разного числа измерений

Параллельные прямые определяются в многомерном пространстве так же, как в трехмерном, и так же доказываются теоремы:

1.Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, ей параллельная, и притом только одна.

2.Две прямые, параллельные одной и той же прямой, параллельны друг другу.

Для определения параллельности воспользуемся понятием о параллельном переносе. Он определяется буквально так же, как на плоскости или трехмерном пространстве. Это отображение, при котором точки X переходят в такие точки Y, что все векторы равны.

Теперь даем определение. Прямые и плоскости параллельны, если одна переводится в другую переносом. Прямая параллельна плоскости, если она не лежит в этой плоскости, но ее можно отобразить в эту плоскость переносом.

Общее понятие плоскости. Если пространство более чем трехмерное (не выполняется аксиома пересечения плоскостей), то в нем наряду с обычными двумерными плоскостями есть другие фигуры, также называемые плоскостями.

Определение. Плоскостью, вообще, называется такая фигура, которая содержит по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой, и вместе с каждыми двумя своими точками содержит всю содержащую их прямую, но при этом не является всем пространством. Обычная двумерная плоскость, очевидно, подпадает под это определение.

Теорема. Всякая недвумерная плоскость представляет собой евклидово пространство, т. е в ней выполняются аксиомы, определяющие евклидово пространство, с теми же двумерными плоскостями, какие имеются в объемлющем пространстве.

Через всякие три точки любой данной плоскости проходит содержащаяся в ней двумерная плоскость.

Доказательство. Пусть P – данная плоскость в каком-либо евклидовом пространстве и А, В, С – какие-либо три ее точки. По определению плоскости она содержит прямую АВ, но не сводится к ней. Поэтому если точка С оказалась на этой прямой, то можно взять точку D, не лежащую на прямой АВ. Если С не лежит на АВ, то D и есть С.

Плоскость P, по ее определению, содержит прямые АВ и AD. Через эти прямые проходит двумерная плоскость Q, образованная пересекающими их прямыми. Все эти прямые будут содержаться в плоскости Р (в силу определения плоскости). Следовательно, в Р содержится двумерная плоскость Q, проходящая через данные точки А, В, С, что и требовалось доказать.

Итак, первая аксиома евклидова пространства выполнена. Вторая выполняется очевидно, поскольку она выполняется в объемлющем пространстве для любых двух плоскостей с двумя общими точками.

Число измерений плоскости можно определить, как в пространстве, числом взаимно перпендикулярных прямых. Прямую можно считать одномерной плоскостью.

Плоскость Р можно назвать параллельной плоскости Q, если существует перенос, перемещающий ее в плоскость Q, т. е. такой перенос t, что . Мы пишем: (но это значит, что только если так что перемещается в Р обратным переносом ).

В четырехмерном пространстве есть трехмерные плоскости: каждая из них – это трехмерное евклидово пространство. Если две такие плоскости имеют общую точку, то их пересечение представляет двумерную плоскость.