Свойства прямых на плоскости Лобачевского

В евклидовой геометрии расстояние между параллельными прямыми есть величина постоянная. Это свойство на плоскости Лобачевского не сохраняется.

Теорема 1. Две параллельные прямые на плоскости Лобачевского асимптотически приближаются со стороны их параллельности и бесконечно расходятся в противоположную сторону.

Доказательство. Пусть . Возьмем и проведем (рис. 25).

Пусть - произвольное сколь угодно малое число. Отложим на отрезок . Возьмем произвольную точку на отрезке и через эту точку проведем прямую в противоположных направлениях. Тогда по свойству транзитивности параллельности . Поскольку точка лежит ниже чем точка М и прямая образует с острый угол (как угол параллельности), то пересекает в некоторой точке . Откладываем на прямой вправо и проведем . Тогда по первому признаку равенства треугольников ( по построению, - общая, как углы параллельности). Отсюда выходит, что .

Итак, каким бы ни было малым число , существует такая точка на прямой , что то есть прямые асимптотически приближаются в сторону их параллельности.

Аналогично можно доказать, что прямые бесконечно расходятся в направлении, противоположном направлению параллельности.

На евклидовой плоскости две параллельные прямые имеют бесчисленное множество общих перпендикуляров. На плоскости Лобачевского имеет место такая теорема.

Теорема 2. На плоскости Лобачевского сходящиеся и параллельные прямые не имеют общего перпендикуляра, а расходящиеся прямые имеют лишь один общий перпендикуляр.

Доказательство. Допустим, что некоторые две прямые имеют общий перпендикуляр (рис 26). Эти прямые не могут быть сходящимися, тогда бы существовали треугольники с двумя прямыми углами, что противоречит абсолютной геометрии.

Эти прямые не могут быть и параллельными, ибо тогда углы параллельности были бы прямыми, что в геометрии Лобачевского не возможно. Итак, если прямые имеют общий перпендикуляр, то они могут быть только расходящимися.

Покажем, что расходящиеся прямые имеют лишь один общий перпендикуляр. Допустим, что прямые , кроме , имеют еще один общий перпендикуляр (рис. 26).

Тогда сумма углов четырехугольника равна , это эквивалентно постулату, который в геометрии Лобачевского не выполняется. Получили противоречие. Итак, если расходящиеся прямые имеют общий перпендикуляр, то этот перпендикуляр один.

Функция Лобачевского

Рассмотрим свойства углов параллельности. Первое, изменяя угол параллельности, меняется длина перпендикуляра (рис.27).

Пусть (рис.28).

Поскольку , то . С другой стороны, . Отсюда выходит, что . Таким образом, с возрастанием угол параллельности уменьшается.

Можно показать, что значение угла параллельности при данном значении не зависит от выбора прямой и точки на ней, то есть для данного значении угол параллельности имеет определенное одно и тоже значение, какую бы ни взяли прямую и где бы ни взяли на ней точку.

Действительно, пусть - две произвольные прямые, - произвольные точки этих прямых (рис. 29).

Каждому значению соответствует вполне определенное значение угла параллельности , такое, что есть функция с областью определения . Эта функция обозначается и называется функцией Лобачевского. Н.И. Лобачевский нашел аналитическую формулу для функции : , где - некоторая положительная постоянная. Анализируя эту формулу, получаем Это означает, что при достаточно малом угол параллельности . Поэтому при достаточно малых пространство Лобачевского как угодно мало отличается от пространства Евклида, и, евклидову геометрию можно рассматривать как предельный случай геометрии Лобачевского, если , то есть при малых размерах.

Рассмотрим постоянную в формуле Лобачевского. Эта постоянная может принимать значения от 0 до , и для каждого будет существовать свое пространство Лобачевского. Эти пространства будут отличаться одно от другого степенью отклонения от евклидового пространства. Действительно, Поэтому чем больше , тем меньше пространство Лобачевского будет отличаться от евклидового. Выясняется, что постоянная - это радиус кривизны пространства Лобачевского. Итак, пространство Лобачевского будет тем ближе к евклидову, чем большего радиус кривизны, то есть чем меньше его кривизна.