Лінійна алгебра Блок № 1

A і B  квадратні невироджені матриці однакових порядків, причому

detA = detB. Знайти det(AB^1).

a

b

c

d

b

а) 0;

b) 1;

c) 1;

d) 2.

2.

H  підпростір дійсного векторного простору L. Яке з поданих висловлювань є вірним?

a

b

c

d

b

а) якщо x, y є L, то (x – y) є H;

b) якщо x є H, то 10x є H;

c) якщо x є H, y є L , то (x + y) є H;

d) якщо x є L, то (–x) є H.

3.

Яка з поданих систем векторів є базисом векторного простору R³?

a

b

c

d

a

а)  (1, 2, 1), (2, 3, 1), (3, 5, 1) ;

b)  (1, 4, 1), (2, 0, 2), (1, 5, 10), (3, 2, 1) ;

c)  (1, 0, 1), (1, 1, 1), (2, 1, 2) ;

d)  (4, 2, 3), (0, 3, 7) .

4.

Задана однорідна система із m лінійних рівнянь з n невідомими, A  матриця цієї системи і rangA = k. Вказати кількість елементів у фундаментальній системі розв’язків цієї системи.

a

b

c

d

a

а) n  k;

b) k  n;

c) m  k;

d) n + k.

5.

Задана сумісна система із m лінійних рівнянь з n невідомими, A  матриця цієї системи,  її розширена матриця. Яке з поданих висловлювань вірне?

a

b

c

d

b

а) ;

b) ;

c) ;

d) .

6.

  лінійне перетворення дійсного векторного простору L, x і y  власні вектори  із власними значеннями (1) і 0 відповідно. Знайти (2x – y).

a

b

c

d

d

а) (2x – y) = 2x – y;

b) (2x – y) = y – 2x;

c) (2x – y) = 2x;

d) (2x – y) = –2x.

7.

A і B  такі матриці, що rangA = 4, rangB = 7 і добуток AB визначений. Яке з поданих висловлювань вірне?

a

b

c

d

b

а) rang(AB) = 4;

b) rang(AB) ≤ 4;

c) rang(AB) > 4;

d) rang(AB) = 28.

8.

Серед поданих матриць вибрати матрицю, ранг якої дорівнює числу 4.

a

b

c

d

d

а) ;

b) ;

c) ;

d) .

9.

A  квадратна невироджена матриця n–го порядку. Знайти rangA.

a

b

c

d

c

а) 1;

b) n  1;

c) n;

d) n + 1.

10.

A і B  квадратні невироджені матриці n–го порядку. Знайти rang(AB).

a

b

c

d

b

а) n  1;

b) n;

c) n + 1;

d) n².

11.

A  квадратна матриця n–го порядку, причому detA = 0. Яке з поданих висловлювань вірне?

a

b

c

d

a

а) rangA ≤ n  1;

b) rangA = n;

c) rangA = n  1;

d) rangA = 0.

12.

Яка з вказаних матриць обов’язково має ранг 25:

a

b

c

d

a

а) добуток двох невироджених квадратних матриць порядку 25;

b) добуток двох невироджених квадратних матриць порядку 5;

c) вироджена квадратна матриця порядку 26;

d) сума двох невироджених квадратних матриць порядку 25.

13.

Яка із поданих підмножин векторного простору R⁵ є тривимірним підпростором простору R⁵?

a

b

c

d

c

а) ( , , , ² + ² + ², 0 ) | , ,   R;

b) ( , 0, , 0, 0 ) | ,   R;

c) ( , 2, , ,  ) | , ,   R;

d) ( 0, , , 4 + 3, 0 ) | ,   R.

14.

{a, b, c} лінійно незалежна система векторів дійсного векторного простору L. Яка з поданих систем векторів також є лінійно незалежною системою векторів у просторі L?

a

b

c

d

a

а) {a, a +b, a + b +c};

b) {a, b, a + b};

c) {2a, 3b, 4c, a + b + c};

d) {a, 3a, –a}.

15.

Який з поданих векторних просторів ізоморфний векторному простору R⁴ ?

a

b

c

d

c

а) R²;

b) R³;

c) M₂(R);

d) M₄(R).

Блок № 2

1.

Нехай , . Знайти матрицю C, якщо

.

a

b

c

d

b

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

2.

Вектор x векторного простору L в базисі {e₁, e₂, e₃} має координати . Знайти координати вектора x в базисі {e₃, 2e₂, 3e₁}.

a

b

c

d

d

а) ;

b) ;

c) ;

d) .

3.

  лінійне перетворення дійсного векторного простору L, яке в базисі

{e₁, e₂, e₃} простору L має матрицю . Знайти матрицю цього лінійного перетворення в базисі {–e₃, –e₂, –e₁}.

a

b

c

d

c

а) ;

b) ;

c) ;

d) .

4.

Лінійне перетворення  дійсного векторного простору L в базисі {e₁, e₂, e₃} простору L має матрицю .

Знайти (x), якщо x = 2e₁ – e₃.

a

b

c

d

a

а) (x) = e₁ – 2e₃;

b) (x) = –2e₁ + e₃;

c) (x) = –e₁ – e₂ – e₃;

d) (x) = –e₁ – e₂ + 2e₃.

5.

f – лінійне перетворення векторного простору R², задане за правилом:

f( (x, y) ) = ( y, x ).

Який з поданих векторів є власним вектором лінійного перетворення f?

a

b

c

d

c

а) ( 0, 0 );

b) ( 1, 2 );

c) ( 2, –2 )

d) ( 0, 1 ).

6.

  лінійне перетворення дійсного тривимірного векторного простору L, яке в деякому базисі простору L має матрицю

.

Знайти множину всіх власних значень .

a

b

c

d

d

а) 1; 2; 3;

b) 1; 4; 9;

c) 3; 2; 3;

d) 3; 3; 4.

7.

Лінійне перетворення  дійсного векторного простору L в базисі {e₁, e₂} простору L має матрицю

.

Знайти матрицю  в базисі {–e₂, –e₁}.

a

b

c

d

a

а) ;

b) ;

c) ;

d) .

8.

Лінійне перетворення  дійсного векторного простору Rⁿ ( n  3 ) задане за правилом:

(x₁, x₂, x₃, , x_n1, x_n) = (x₁ + x₂, x₂ + x₃, , x_n1 + x_n, 2x_n).

Який із поданих векторів є власним вектором перетворення , якому відповідає власне значення 2.

a

b

c

d

d

а) (2, 0, 0, , 0);

b) (1, 2, 3, , n);

c) (0, 0, 0, , 0);

d) (3, 3, 3, , 3).

9.

  лінійне перетворення дійсного векторного простору L, яке в базисі

{e₁, e₂} простору L має матрицю

.

Який із поданих векторів є власним вектором ?

a

b

c

d

a

а) 2e₁;

b) e₁ + e₂;

c) e₁ – e₂;

d) e₂.

10.

A  матриця несумісної системи лінійних рівнянь,  розширена матриця цієї системи і rangA = n. Знайти .

a

b

c

d

d

а) 1;

b) n  1;

c) n;

d) n + 1.

11.

Яка із вказаних систем лінійних рівнянь завжди є сумісною?

a

b

c

d

a

а) однорідна система із n лінійних рівнянь, кількість невідомих в якій дорівнює

(n  1);

b) неоднорідна система із n лінійних рівнянь з n невідомими;

c) неоднорідна система із n лінійних рівнянь, кількість невідомих в якій дорівнює (n + 1);

d) неоднорідна система із n лінійних рівнянь, ранг матриці якої дорівнює (n  1).

12.

A і B  квадратні матриці n–го порядку ( n  3), причому rangA = n,

rangB = n  1. Яке з поданих висловлювань вірне?

a

b

c

d

a

а) rang(AB) = n  1;

b) rang(AB) = n;

c) rang(AB) = n²  n;

d) rang(AB)  n  2.

13.

H  ненульовий підпростір векторного простору R², H  R². Знайти dim_RH.

a

b

c

d

b

а) 0;

б) 1;

c) 2;

d) 4.

14.

Одним із базисів дійсного векторного простору L є система {e₁, e₂, e₃}. Яка із поданих систем векторів також є базисом простору L?

a

b

c

d

b

а) {e₁, e₂};

b) {3e₁, 2e₃, –e₂};

c) {2e₁, 5e₃, e₁ – 4e₃};

d) {e₁, e₂, e₁ +e₂}.

15.

Одним із базисів дійсного векторного простору L є система {e₁, e₂, …, e_n}. Яка із поданих систем векторів також є базисом простору L?

a

b

c

d

b

а) {e₁, e₂, …, e_n–1, e₁ + e₂ + … + e_n–1};

b) {e₁, 2e₂, …, ne_n};

c) {e₁, 2e₁, …, ne₁};

d) {e₁ + e₂, e₂ + e₃, …, e_n–1 + e_n }.