TEORIYa_MIRI_TA_INTEGRALU_chast2

f (x0 − 0) і

f (x0 + 0) , а також скінченні границі f (a + 0) і f (b − 0) .

Означення 6.1.2. Для x0 [a;b)

число

f (x0 + 0) − f (x0 ) називається

стрибком

справа

функції f (x)

у

точці

x0 ,

для

x0 (a;b]

число

f (x0 ) − f (x0 − 0)

називається стрибком

зліва функції

f (x)

у точці

x0 . Для

x0 (a;b) число

f (x0 + 0) − f (x0 − 0)

називається стрибком

функції

f (x) у

точці x0 .

5. Множина точок розриву неспадної

функції

f (x)

не більш ніж

зчисленна.

Доведення. Якщо

a < x1 < x2 <b точки розриву неспадної функції, то

очевидно,

що

f (x1 + 0) ≤ f (x2 − 0) .

Тоді

інтервали( f (x1 − 0); f (x1 + 0)) ,

( f (x2 − 0); f (x2 + 0)) не перетинаються.

Зрозуміло,

що для точок a і b слід

розглядати

відповідно

інтервали

( f (a); f (a + 0)) і

( f (b − 0); f (b)) .

Таким

чином, множені

точок

розриву

функції f (x)

відповідає

деяка множина

≤| f (x) − f (a) |

b

+| f (b) − f (x)+| f (a) |≤V ( f )+| f (a) | .

2. Сума функцій

a

f (x) і

g(x)

обмеженої варіації на сегменті [a;b] є

функцією обмеженої варіації і

b

b

b

V ( f

+ g) ≤V

( f ) +V (g) .

Доведення. Для

a

a

a

будь-якого

набора точок ∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b}

маємо

m∑−1| f (xk+1 ) + g(xk+1 ) − f (xk ) − g(xk ) |≤

k=0

m−1

m−1

b

b

≤ ∑| f (xk+1 ) − f (xk ) | +∑| g(xk+1 ) −g(xk ) |≤V ( f ) +V (g) .

k=0

k=0

a

a

3. Добуток функції f (x)

обмеженої варіації на число

λ є функцією

b

b

обмеженої варіації і V

(λf ) =| λ |V ( f ) .

a

a

Доведення. Для

будь-якого

набора точок ∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b}

маємо

m∑−1| λf (xk+1 ) − λf (xk ) |=| λ | m∑−1| f (xk+1 ) − f (xk ) |

k=0

k=0

функцію обмеженої варіації і

b

b

b

V ( fg) ≤ M 2 V ( f ) + M1 V (g) , де

a

a

a

M1 = sup

| f (x) | , M 2 = sup | g(x) | .

x [a;b]

x [a;b]

Доведення. Для будь-якого

набора точок

∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b}

маємо

m∑−1| f (xk+1 )g(xk+1 ) − f (xk )g(xk ) |= m∑−1| f (xk+1 )g(xk+1 ) − f (xk )g(xk+1 ) +

k=0

k=0

k=0

k=0

k=0

5. Якщо

| g(x) |≥ c > 0, x [a;b] , то частка

f (x) / g(x) функцій

обмеженої варіації є функцією обмеженої варіації, , і

V ( f / g) ≤ 1

{M V ( f ) + M V (g)},

b

b

b

2

1 a

a

c2

a

де

M1 = sup | f (x) | ,

M 2

= sup | g(x) | .

x [a;b]

x [a;b]

Доведення. Для будь-якого

набора точок ∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b}

маємо

m∑−1| f (xk+1 ) / g(xk+1 ) − f (xk ) / g(xk ) |= m∑−1| f (xk+1 )g(xk ) − f (xk )g(xk+1 ) |

≤

k=0

k=0

| g(xk )g(xk+1 ) |

1

m−1

≤

∑(|

g(xk ) || f (xk+1 ) − f (xk ) | +| f (xk ) || g(xk+1 ) − g(xk ) |) ≤

c2

k=0

≤ 1 {M V ( f ) + M V (g)}.

b

b

2 a

1 a

c2

6. Якщо f (x)

є функцій обмеженої варіації на сегменті [a;b] , то вона

є функцією обмеженої варіації на будь якому сегменту [c;d] [a;b].

Доведення.

Нехай

∆m ={с = x0 , x1,..., xт = d} будь-який

набор

точок, що здійснює розбиття

сегмента [c;d]. Тоді

m−1

m−1

b

∑| f (xk+1 ) − f (xk ) |≤| f (c) − f (a) | +∑|

f (xk+1 )

− f (xk ) | +| f (b) − f (d) |≤V ( f ) .

k=0

k=0

a

7. Якщо f (x)

є функцій обмеженої варіації на сегменті [a;b] і с−

довільна точка інтервалу (a;b) , то

b

c

b

(6.2.2)

V ( f ) =V ( f ) +V ( f ) .

a

a

c

Доведення. Нехай

∆1 =

{a = x

0

, x ,..., x

т

= c} набор точок, що здійснює

m

1

m−1

c

розбиття сегмента [a;c],

такий, що

∑|

f (xk+1 )

− f (xk ) |>V ( f ) −ε і відповідно

k=0

a

c

b

m−1

m+n−1

b

V ( f ) +V ( f ) − 2ε < ∑| f

(xk+1 ) − f (xk ) |

+ ∑| f (xk+1 ) − f (xk ) |≤V ( f )

a

c

k=0

k=m

a

Завдяки довільності ε із одержаних нерівностей отримуємо

c

b

b

(6.2.3)

V ( f ) +V ( f ) ≤V ( f ) .

a

c

a

знайдемо такий

набор точок

Для довільного

додатного

числа

ε

b

m−1

∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b}, що

V ( f ) −ε < ∑| f (xk+1 ) − f (xk ) | і зауважимо, що

a

k=0

b

m−1

j−1

V ( f ) −ε < ∑|

f (xk+1 ) − f (xk ) |= ∑| f (xk+1 ) − f (xk ) | +

a

k=0

k=0

m−1

c

b

+ ∑| f (xk+1 ) − f (xk ) |≤V ( f ) +V ( f )

k= j

a

c

і

c

b

b

(6.2.4)

V ( f ) +V ( f ) ≥V ( f ) .

a

c

a

Доведення. Достатність очевидна,

бо, якщо f (x) = f1 (x) − f2 (x) , де

функції не спадають на сегменті [a;b] , то

f1 (x) і − f2 (x) функції обмеженої

Необхідність. Нехай

x

f2

x

Завдяки

f1 (x) =V ( f ),

(x) =V ( f ) − f (x) .

a

a

властивості 7,

функція f1 (x)

не спадає на сегменті [a;b] . Покажемо, що

функція f2 (x)

теж не спадає. Припустимо, що a ≤ x1 < x2 ≤b , тоді,

внаслідок

властивості 7, маємо

x2

x1

x2

f2 (x2 ) − f2 (x1 ) =V ( f ) − f (x2 ) −V ( f ) + f (x1 ) =V

( f ) − ( f (x2 ) − f (x1 )) ≥ 0

a

a

x1

x2

9. Якщо функція

f (x) , обмеженої

варіації

на

сегменті

[a;b] ,

неперервна зліва у точці

x0 (a;b] , то функція

x

неперервна зліва у

V ( f )

точці

a

x0 .

Відповідно, якщо

функція

f (x)

неперервна

справа

у

точці

x

x0 [a;b) , то функція V ( f ) неперервна справа у точці x0 .

a

Доведення. Розглянемо перший випадок. Зобразимо

f (x)

у вигляді

f (x) = f1 (x) − f2 (x)

і зауважимо, що якщо функція

f1 (x) має стрибок зліва у

точці x0 , то такий же стрибок має функція

f2 (x) ,

тому що

f (x) неперервна

зліва у точці x0 . Тому можливо усунути одночасно розриви функцій

f1 (x) і

f2 (x)

не змінюючи функцію

f (x) . Отже будемо

вважати функції

f1 (x) і

f2 (x)

неперервними зліва у точці

x0 .

Для довільного ε > 0 знайдемо δ > 0

таке, що, якщо x (x0 −δ; x0 ) ,

то

f1 (x0 ) − f1 (x) <ε

і

f2 (x0 ) − f2 (x) <ε . Тоді

із властивостей 7, 2

і нерівності (6.2.1) знаходимо

x0

x

x0

x0

x0

V ( f ) −V ( f ) =V ( f ) ≤V ( f1 ) +V ( f2 ) = f1 (x0 ) − f1 (x) + f2 (x0 ) − f2 (x) = 2ε ,

a

a

x

x

x

6.3.1

Перша лема Серпинського.

Нехай A −деяка обмежена числова

множина,

H −сім’я інтервалів

(x; x + hx ), hx > 0 .

Для довільного

ε > 0 із

сім’ї H можливо вибрати

скінченну

множину

попарно

неперетинних

інтервалів

(xk ; xk + hk ) ,

k =1,2,..., m,

об’єднання

котрих

S

містить

підмножину A', множини A, зовнішня міра якої µ ( A') > µ ( A) −ε .

Доведення. Нехай An = (x A: hx >1/ n) . Якщо hx

>1/ n, то hx >1/(n +1) .

Тому послідовність множин

An

не спадає: An An+1 .

Очевидно також, що

A

∞

A . Тоді на підставі властивості 13 маємо µ ( A) = lim µ ( A ) . Отже

=

n=1

n

n→∞

n

існує таке натуральне число

n

таке, що µ ( A ) > µ

( A) −ε / 2 . Позначимо

n

b

=sup A ,

a

=inf A ,

l =b

− a , η =

ε

.

За означенням точної

1

n

1

n

1

1

2(nl +1)

нижньої межі існує число x1 An таке, що a1 ≤ x1 < a1 +η . Нехай (x1; x1 + h1 )

інтервал з сім’ї

H , довжина якого h1 >1/ n . Якщо правіше точки

x1 + h1 є

точки множини An , то через a2

позначимо їх точну нижню грань. Визначимо

точку x2 An

таку,

що a2 ≤ x2 < a2 +η і нехай (x2 ; x2 + h2 )

інтервал з сім’ї

H , довжина

якого

h2 >1/ n .

Продовжуючи цей процес,

через m кроків

m

m

Нехай S = (xk ; xk + hk ),

T = [ak ; xk ) . Тоді

An S T . Дійсно, якщо

x S T

k=1

x або

k=1

сегменту [a1;b1 ],

або x

, то число

знаходиться зовні

знаходиться на пів інтервалі

[xk + hk ;ak+1 ) , де точок

множини

An

немає.

Отже x An . Оскільки

xk − ak <η , то µ(T ) < mη <ε / 2 .

Позначимо

An S

через A'. Тоді

µ ( A) −ε < µ ( A ) −ε / 2 ≤ µ ( A S) + µ ( A T ) −ε / 2 ≤

n

n

n

≤ µ ( A') + µ(T ) −ε / 2 < µ ( A') .

Лема доведена.

6.3.2

Друга лема Серпинського.

Нехай виконуються умови першої

леми і окрім того для

довільного x A

існують у

сім’ї H

інтервали

другої леми існують у сім’ї H інтервали (x; x + hx ) як

завгодно

малої

довжини. Отже можливо застосувати першу лему до

підсім’ї H '

і тоді

вибрані інтервали містяться у відкритої множині G

і їх

об’єднання S

задовольняє нерівність

Зауваження 6.3.1.

Леми Серпинського мають місце, якщо сім’ю

H

інтервалів (x; x + hx )

замінити на сім’ю інтервалів (x − hx ; x) .

Означення 6.3.1. Нижнім правим похідним числом функції

f (x) ,

що

визначена у деякому околу точки x , називається нижня границя частки

f (x + h) − f (x)

, де

h > 0, при умові, що h →0 . Нижнє праве похідне

h

D+ ( f , x) . Верхнім правим похідним числом

число позначається символом

функції f (x)

називається верхня границя частки

f (x + h) − f (x)

,

де h > 0,

при умові, що h →0 .

h

Верхнє

праве

похідне

число

позначається символом

D+ ( f , x) .

D

( f , x) = lim

f (x + h) − f (x)

,

D− ( f , x) =

f (x + h) − f (x)

.

lim

−

h<0,h→0

h

h<0,h→0

h

f−' (x) . Зрозуміло, що якщо f+'

(x) = f−' (x) ,

то функція

f (x)

має похідну

f '(x) = f+' (x) = f+' (x) у точці x .

Теорема 6.3.1. Якщо

функція

f (x) не

спадає

на

сегменті

[a;b] і

майже скрізь на сегменті [a;b] існує похідна

f '(x) ,

то похідна інтегровна

за Лебегом на сегменті [a;b]

і має місце нерівність

∫ f '(x)dx ≤ f (b) − f (a) .

(6.3.1)

[a;b]

Доведення. Довизначемо

функцію

f (x)

на

півінтервал

(b;b +1],

поклавши

f (x) = f (b)

для

усіх

x (b;b +1]

і

розглянемо

послідовність

функцій

fn (x) = n{ f (x +

1 ) − f (x)}.

Функції

fn (x)

вимірні,

інтегровні за

n

fn (x)

Ріманом

і за Лебегом. Крім того послідовність функцій

задовольняє

умови теореми Фату. Дійсно послідовність функцій

fn (x)

майже скрізь

збігається

до похідної

f '(x) і,

зробивши

заміну

змінної в

рімановому

інтегралі, з урахуванням монотонності функції f (x) , одержимо.

b

1

b

b+1 / n

a +1 / n

∫

f

(x)dx − ∫

∫ fn (x)dx = n ∫ f (x +

n

)dx − ∫ f (x)dx = n

f (x)dx =

[a;b]

a

a

b

a