Блок №2

1.

G  мультиплікативна група із десяти елементів, g  G і g  e (e  одиничний елемент групи G). Яка з поданих рівностей є вірною?

a

b

c

d

d

а) g⁹ = e;

b) g¹⁰ = g;

c) g¹¹ = e;

d) g¹¹ = g.

2.

G  мультиплікативна група, a, b  G, a² = e, b⁴ = e і ab = ba (e  одиничний елемент групи G). З яким з поданих елементів співпадає елемент (ab)²⁹?

a

b

c

d

a

а) ab;

b) e;

c) a;

d) b.

3.

G  група із 18 елементів, H  її підгрупа. Якому числу не може дорівнювати кількість елементів у підгрупі H?

a

b

c

d

c

а) 1;

b) 2;

c) 4;

d) 9.

4.

p  просте натуральне число, G  група із p елементів. Знайти кількість підгруп групи G.

a

b

c

d

b

а) 1;

b) 2;

c) p  1;

d) p.

5.

Який з поданих елементів є оберненим до елемента ((m  1) + mZ) у фактор-кільці Z/mZ ( m  N, m  3)?

a

b

c

d

d

а) mZ;

b) 1 + mZ;

c) (m + 1) + mZ;

d) (m  1) + mZ.

6.

m  непарне натуральне число, m  3 . Який з поданих елементів є оберненим до елемента (2 + mZ) у фактор-кільці Z/mZ?

a

b

c

d

c

а) 1 + mZ;

b) ;

c) ;

d) mZ.

7.

Вказати кількість оборотних елементів фактор-кільця Z/6Z.

a

b

c

d

c

а) 0;

b) 1;

c) 2;

d) 5.

8.

I  ідеал комутативного кільця K. Яке з поданих висловлювань справедливе?

a

b

c

d

d

а) ab  I при будь-яких a, b  K;

b) (a  b)  I при будь-яких a, b  K;

c) a³  I при будь-якому a  K;

d) a(b  c)  I при будь-яких a  K і b, c  I.

9.

З яким з поданих елементів співпадає елемент

(2 + 30Z)⁵ + (3 + 30Z)³

фактор-кільця Z/30Z?

a

b

c

d

c

а) 30Z;

b) 1 + 30Z;

c) (1 + 30Z);

d) 5 + 30Z.

10.

g  елемент мультиплікативної групи G такий, що g  e, g²  e, а g³ = e (e  одиничний елемент групи G). Яка з поданих множин є підгрупою групи G?

a

b

c

d

d

а)  g ;

b)  e, g ;

c)  g, g²;

d)  e, g, g².

11.

K  комутативне кільце із 24 елементів, I  його ідеал. Якому числу не може дорівнювати кількість елементів у ідеалі I?

a

b

c

d

d

а) 1;

b) 2;

c) 12;

d) 14.

12.

K  комутативне кільце з одиницею e, яке складається із n елементів, I  його ідеал такий, що e  I. Знайти кількість елементів в I.

a

b

c

d

c

а) 1;

b) n  1;

c) n;

d) n + 1.

13.

Вказати кількість оборотних елементів фактор-кільця Z/61Z.

a

b

c

d

c

а) 1;

b) 30;

c) 60;

d) 61.

14.

H₁ і H₂  підгрупи групи G, | H₁ | = 9, | H₂ | = 14. Якому з наступних чисел дорівнює |H₁ ∩ H₂ |.

a

b

c

d

a

а) 1;

b) 2;

c) 9;

d) 14.

15.

Яка з поданих множин матриць утворює групу відносно операції множення матриць?

a

b

c

d

a

а) ;

b) ;

c) ;

d) .