4. Содержание дисциплины.

ПЕРВЫЙ УЧЕБНЫЙ СЕМЕСТР

Модуль 1.

Тема 1.1. Множества. Числовые функции.

Множество вещественных чисел и его геометрическая интерпретация. Модуль вещественного числа. Грани числовых множеств. Условия существования точных граней. Принцип Архимеда. Свойства плотности множества вещественных чисел.

Числовые функции. Их способы задания и классификация. Грани числовых функций.

Тема 1.2. Числовые последовательности и их пределы.

Предел числовой последовательности. Предельный переход в арифметических операциях и неравенствах. Признаки существования предела для промежуточных и монотонных последовательностей. Число е.

Тема 1.3. Предел функции. Асимптоты.

Два равносильных определения предела числовой функции в точке.

Арифметические свойства операции предельного перехода. Замечательные пределы. Сравнение функций. Асимптоты функции.

Модуль 2.

Тема 2.1. Непрерывные функции.

Непрерывные функции. Непрерывность основных элементарных функций. Точки разрыва и их классификация. Теоремы об экстремальных и промежуточных значениях непрерывных функций.

Тема 2.2. Дифференцирование функций одного переменного.

Три основных понятия дифференциального исчисления функции одного переменного (производная, дифференцируемость, дифференциал). Различные интерпретации производной в физике, геометрии, экономике и др.

Формулы дифференцирования арифметических операций. Дифференцирование сложной и обратной функций.

Тема 2.3. Производные и дифференциалы высших порядков.

Тема 2.4. Основные теоремы дифференциального исчисления.

Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Роля, Лагранжа, Коши).

Модуль 3.

Тема 3.1. Приложения дифференциального исчисления функции одного переменного.

Формула Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа и Пеано. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

Приложение дифференциального исчисления к исследованию качественных свойств функций одного переменного (нахождение промежутков монотонности и экстремумов, характеристика участков выпуклости, точки перегиба).

Тема. 3.2. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.

Многомерные пространства и функции многих переменных. Предел и непрерывность функций многих переменных.

Частные производные, дифференцируемость и дифференциал функций многих переменных. Их геометрические и экономические иллюстрации. Производная по направлению и градиент.

Высшее дифференцирование и формула Тейлора. Дифференцирование неявных функций.

Тема 3.3. Экстремумы функций многих переменных.

Локальные и условные экстремумы функций многих переменных.

Наибольшее и наименьшее значения функции.

Тема 3.4. Итоговая контрольная работа. Подведение результатов.

Обзор основных теоретических положений и исторических этапов их развития и становления.

ВТОРОЙ УЧЕБНЫЙ СЕМЕСТР

Модуль 1.

Тема 1.1. Первообразная. Простейшие интегралы.

Первообразная и неопределенный интеграл. Простейшие свойства неопределенного интегрирования.

Тема 1.2. Техника неопределенного интегрирования.

Методы замены переменного и интегрирования по частям.

Интегрирование рациональной функции.

Интегрирование алгебраических иррациональностей.

Интегрирование тригонометрических выражений.