45. Простота евклидовой геометрии

Одним из вопросов, занимающих важное место в большинстве дискуссий о теории относительности, был вопрос о простоте евклидовой геометрии. При этом никто даже не пытался усомниться в том, что евклидова геометрия как таковая проще, чем любая неевклидова геометрия с данной постоянной кривизной, не говоря уже о неевклидовых геометриях с переменной кривизной.

На первый взгляд кажется, что используемое при таком сравнении понятие простоты не имеет почти ничего общего со степенями фальсифицируемости. Однако если высказывания о простоте различных геометрий сформулировать в виде эмпирических гипотез, то обнаружится, что два интересующих нас понятия — простота и фальсифицируемость — совпадают и в этом случае.

Рассмотрим, какие эксперименты могут оказать нам помощь в проверке следующей гипотезы: «В нашем мире необходимо использовать некоторую метрическую геометрию с таким-то и таким-то радиусом кривизны». Эта гипотеза допускает проверку только в том случае, если мы отождествим некоторые геометрические сущности с определенными физическими объектами, например прямые линии — со световыми лучами, точки — с пересечением нитей и т.п. Если принять такое отождествление (то есть ввести некоторое определение, устанавливающее конкретное соотношение, или, возможно, некоторое остенсивное определение — см. раздел 17), то можно показать, что гипотеза о справедливости евклидовой геометрии световых лучей фальсифицируема в большей

133

степени, чем любая другая конкурирующая гипотеза, утверждающая справедливость некоторой неевклидовой геометрии. Дело в том, что если мы измерим сумму углов светового треугольника, то любое значительное отклонение от 180 градусов фальсифицирует евклидову гипотезу. В то же время гипотеза о справедливости геометрии Больяи — Лобачевского с данной кривизной будет совместима с любым конкретным измерением, результат которого не превосходит 180 градусов. К тому же для фальсификации второй гипотезы необходимо измерить не только сумму углов, но также и (абсолютный) размер треугольника, а это означает, что в придачу к углам потребовалось бы ввести новую единицу измерения, такую, например, как единицу площади. Таким образом, мы видим, что для фальсификации второй гипотезы требуется большее число измерений, что данная гипотеза совместима с большими отклонениями в результатах измерений и что, следовательно, эту гипотезу труднее фальсифицировать. Иначе говоря, вторая гипотеза фальсифицируема в меньшей степени. То же самое можно выразить, сказав, что евклидова геометрия является единственной метрической геометрией с определенной кривизной, в которой возможны преобразования подобия. Как следствие этого, фигуры евклидовой геометрии могут быть инвариантными по отношению к большему числу преобразований, то есть они могут иметь меньшую размерность и поэтому быть проще.

46. Конвенционализм и понятие простоты

То, что конвенционалист называет «простотой», не совпадает с моим понятием простоты. Никакая теория однозначно не детерминируется опытом — вот центральная идея и исходный путь конвенционалиста, и я разделяю эту точку зрения. Исходя из этого, конвенционалист убежден в том, что он должен выбрать «простейшую теорию». Однако поскольку теории для конвенционалиста не являются фальсифицируемыми системами, а представляют собой конвенциональные соглашения, то под «простотой» им, безусловно, подразумевается нечто отличное от степени фальсифицируемости.

Конвенционалистское понятие простоты в действительности оказывается частично эстетическим, частично практическим. Поэтому, когда Шлик говорит о том, «что понятие простоты, очевидно, можно определить только при помощи конвенции, которая всегда оказывается произвольной»¹, то это его замечание (ср. раздел 42) полностью применимо к конвенционалистскому понятию простоты, но не затрагивает моего понятия простоты. Странно, что сами конвенционалисты не заметили конвенционального характера самого фундаментального для них понятия — понятия простоты. Да они и не могли заметить его, так как в противном случае им пришлось бы признать то, что никакая апелляция к простоте не может спасти от произвольности того, кто однажды вступил на путь принятия произвольных конвенций.

С моей точки зрения, некоторую систему следует считать в высшей степени сложной, если в соответствии с практикой конвенционалистов

¹ Schlick М. Die Kausalitдt in der gegenwдrtigen Physik // Naturwissenschaften, 1931, Bd. 19, H. 7, S. 148.

134

мы, безусловно, принимаем ее в качестве раз и навсегда установленной системы, которую, как только она оказывается в опасности, следует спасать при помощи введения дополнительных (auxiliary) гипотез. Дело в том, что степень фальсифицируемости охраняемой таким образом системы равна нулю. Итак, наше понятие простоты вновь привело нас к методологическим правилам, сформулированным в разделе 20, и в частности к правилу или принципу, который удерживает нас от снисходительного отношения к введению гипотез ad hoc и дополнительных гипотез, то есть к принципу экономии используемых нами гипотез.