16. Непр. Ф-ции в точке и на пром./св-ва непр. Ф-ций/ (т) о непр. Элем. Ф-ций

Непр. в точке: Опр. пусть ф-ция 1.определена в т.х₀ и некоторой ее окрестности. Ф-ция f(x) непрерывная в т.х_0, если 2. существует lim ф-ции в этой точке и он 3. равен значению ф-ции в этой точке.

Те: а)f(x) опр. в т.x₀ и ее окр. б)сущ-ет lim f(x) при х->х₀, т е lim f(x) при х->x₀-0 = lim f(x) при х->х₀+0 в)lim f(x) при х->х₀=f(x₀) ; тк lim x при х->х₀=x₀, то lim f(x) при х->х₀= f(x)=>f(limx при х->x₀), т е д/непрер. Ф-ции можно переставить знак f и знак lim. (еще одно опред. в 24 бил.)

Непр. ф-ции на пром. Опр.1 Ф-ция f(x) непрерывная на интервале (а;b), если она непрерывна в каждой точке этого ( )

Опр 2 Ф-ция f(x) непрерывная на отрезке [a;b], если она:1непрерывна в каждой точке интервала (a;b), 2в точке х=а непрерывна справа и 3в т. b непрерывна слева (рис), те 1.непр. на (a;b), 2.lim f(x) при х->а+0=а(а), 3.limf(x) при х->b-0=f(b)

Св-ва непрер. ф-ций в точке: 1) Сущ-ют f(x) и g(x), они опред. в некот. окр. т.х₀ и непрерывны в ней => f(x)+g(x), f(x)*g(x) также непрерывны в т.x₀, а f(x)/g(x) непр. в т.х₀, если g(x) не=0

2) y=f(x) ; z=g(y), если y=f(x) – непр. в т.х₀, а z=g(y) – непр. в т.у₀, где y₀=f(x₀), то z=g(f(x)) – непр. в т. x₀.

Св-ва ф-ции непр. на отрезке: f(x) – ограничена на [a;b], если сущ-ет такое число C>0 : |f(x)|≤C д/люб.х принадл. [a;b]

1) т.Вейерштрасса – всякая непрерывная на отрезке [a;b] ф-ция ограничена на этом отрезке

2) т.Вейерштрасса – если ф-ция непрерывна на [a;b], то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений (Непр. на [a;b] наиб. знач. M в т.х₁ и наим. m в т.х₂ => все значения f(x) заключены m≤f(x)≤M д/люб.х принадл. [a;b])

3) Если f(x) непр. на [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри [a;b] сущ-ет хотя бы 1 точка С, в которой значение f(x) обращается в 0

4) Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и f(a)=A, f(b)=B. Тогда для любого числа С, заключенного между А и В (A<C<B) найдется такая точка c (c∈[a;b]) такая что f(c)=С

(или непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, обязательно принимает промежуточные значения)

5) Мн-во значений f(x) непрерывна на [ ] есть отрезок

(Т) элементарные функции непрерывны во всех точках, принадлежащих области определения, в окрестностях которых они определены.

17. Одност. Limы/непр. Ф-ции справа и сл./класс. Разрывов

Пусть ф-ция f(x) опред. в некоторой правосторонней окрестности х₀, кроме мб самой т. х₀

Опред. Число А₁ – правосторонний предел ф-ции f(x) при x->x₀ справа (lim f(x) (при х->x₀+0) =A₁), если д/люб. Е>0 сущ-ет б>0 : д/люб. х принадл. (x₀; x₀+б) выполн. |f(x)-A₁|<E

Аналогично опред. предел ф-ции слева: А₂ – левосторонний lim ф-ции f(x) при х->x₀ cлева (lim f(x)(при х->x₀-0)=A₂, если д/люб. Е>0 сущ-ет б>0 : д/люб.х принадл. (x₀-б; х₀) выполн. |f(x)-A₂|<E

Пределы ф-ции слева и справа – односторонние пределы, однако если сущ-ет lim ф-ции f(x) в т.x₀=A, то су-ют и оба односторонних limа (A=A₁=A₂) Справедливо и обратное, если сущ-ют оба односторонних предела и они равны, то сущ-ет lim ф-ции f(x) в т.₀=А. Если же односторонние пределы не равны, то и предел ф-ции в т.х₀ не сущ-ет.

Классиф.Если в т. х₀ нарушается хотя бы одно из условий непрерывности, то в т.х₀ ф-ция терпит разрыв. Т.х₀ – точка разрыва ф-ции и в ней нарушается хотя бы одно из условий непрерывности в точке, а именно: 1)ф-ция определ. в окрестности т.х₀, НО неопределенна в самой т.х₀

2)ф-ция определена в точке и ее окр., но не сущ-ет lim f(x)(при х->x₀)

3)ф-ция определена в т.x₀ и ее окр., сущ-ет lim при х->x₀, НО этот предел не равен значению ф-ции в т.х₀.

Все ф-ции разрыва разделяют на точки разр. I и II родов:

Определение (I род)

Точка разрыва x₀ – точ. разр. I рода ф-ции y=f(x), если в этой т. сущ-ют конечные пределы ф-ции справа и слева (п.2 выполнен), при этом:

А)предел справа=пределу слева, тогда x₀ – точка устранимого разрыва, в этом случае в т. х₀ f(x) мб: 1)неопределенна ; 2)определена в этой точке, но lim f(x)(при х->х₀)≠f(x₀) Этот разрыв мб устранен, если условиться что в точке разрыва ф-ции задать какое-либо значение(число)

Б)предел справа≠пределу слева, тогда х₀ – точка скачка. Скачок ф-ции – разность односторонних пределов: предел справа-предел слева=скачку

Определение (II рода)

Если хотя бы один из односторонних пределов не сущ-ет или бесконечен, то в т.х₀ ф-ция имеет разрыв 2 рода.