14. Определение устойчивости скорректированной системы с помощью критерия Найквиста.

Критерий Г. Найквиста, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике (АФЧХ).

Необходимая АФЧХ разомкнутой системы может быть получена следующим образом. В выражении передаточной функции разомкнутой системы W_ск(p) заменяют p на jω и получают уравнение АФЧХ разомкнутой системы W_ск(jω). Чтобы построить АФЧХ, необходимо представить ее состоящей из вещественной и мнимой частей:

W_ск(jω) = U(ω) + jV(ω).

Затем задаваясь значениями частоты ω от 0 до +∞ построить АФЧХ на комплексной плоскости.

Если система является астатической (имеет интегрирующие звенья), то ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности, поскольку в знаменателе амплитудно-фазовой функции W(jω) имеется множитель (jω)^r, где r – порядок астатизма.

Разомкнутая система может быть устойчивой и неустойчивой. Критерий Найквиста для первого случая формулируется так: если разомкнутая система устойчива или находится на границе устойчивости, то для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы при изменении ω от 0 до +∞ не охватывала точку с координатами (−1; j0).

Выражение передаточной функции разомкнутой системы имеет вид:

Полученная АФЧХ показана на рис.14. График проходит через точку (−0,081; j0). Критерий Найквиста выполняется, а, следовательно, система устойчива.

Рис.14. АФЧХ разомкнутой скорректированной системы

Все рассмотренные критерии устойчивости оценивают один и тот же факт: имеются ли среди корней характеристического уравнения замкнутой системы корни с положительной вещественной частью.

15. Определение запаса устойчивости скорректированной системы.

Для нормального функционирования всякая система автоматического регулирования должна быть достаточно удалена от границы устойчивости, должна иметь достаточный запас устойчивости.

Необходимость этого обусловлена несколькими причинами:

1. уравнения элементов системы, как правило, идеализированы, при их составлении не учитывают второстепенные факторы;

2. при линеаризации уравнения погрешности приближения дополнительно увеличиваются;

3. параметры элементов определяют с некоторой погрешностью.

Следовательно, устойчивая по расчету система в действительности может оказаться неустойчивой. Запас устойчивости необходим еще и для хорошего качества регулирования.

О запасе устойчивости можно судить, прежде всего, по расположению корней характеристического уравнения системы: чем дальше отстоят они от мнимой оси (в левой полуплоскости), тем больше запас устойчивости.

Количественно запас устойчивости можно определить по логарифмическим частотным характеристикам. Его оценивают двумя показателями: запасом устойчивости по фазе γ и запасом устойчивости по модулю (амплитуде) h. Для абсолютно устойчивой системы запасы устойчивости γ и h определяются так, как показано на рис.8.

Запас по фазе равен γ = 180° + φ(ω_ср) = 45,7°; где ω_ср = 11 с^-1 – частота среза, при которой L_ск(ω_ср) = 0.

Запас по модулю h = − L_ск(ω_φ) = 14.