11. Определение показателей качества переходного процесса скорректированной системы.

По графику h(t) скорректированной системы (рис. 12) необходимо определить основные показатели качества переходного процесса скорректированной системы – время регулирования t_р, относительное перерегулирование σ, частоту колебаний ω (период колебаний T), число колебаний N за время регулирования.

Рис.12. Переходная функция скорректированной системы

Время регулирования определяется t_р определяется длительностью переходного процесса. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго, однако практически считают, что он заканчивается, как только отклонения регулируемой величины от нового ее установившегося значения не будут превышать допустимых пределов ε.

Временем регулирования характеризуют быстродействие системы. Онако иногда быстродействие характеризуют также временем t_у = 0,00 с достижения переходной функцией первый раз нового установившегося значения или временем t_max = 0,074 с достижения максимального значения ℎ_max = 0,38.

Перерегулирование Δℎ_max = ℎ_max − ℎ_уст = 0,085, или выброс, представляет собой максимальное отклонение регулируемой величины от нового установившегося значения.

Относительное перерегулирование:

12. Определение устойчивости скорректированной системы с помощью критерия Гурвица.

Для определения устойчивости систем любого порядка применяют алгебраический критерий А. Гурвица: система будет устойчивой, если определитель Гурвица, все его диагональные миноры и первый коэффициент характеристического уравнения a₀ положительны:

a₀ > 0; Δ₁> 0; …; Δ_n> 0.

Для рассматриваемого примера характеристическое уравнение имеет вид:

Коэффициенты характеристического уравнения:

Определители Гурвица:

Так как a₀ > 0; Δ₁> 0; Δ₂> 0; Δ₃> 0; Δ₄> 0, то критерий Гурвица выполняется, а, следовательно, система устойчива.

13. Определение устойчивости скорректированной системы с помощью критерия Михайлова.

Для определения устойчивости систем по критерию А.В. Михайлова следует построить кривую, годограф Михайлова, т.е. годограф, который описывает на комплексной плоскости, вектор получаемый из вектора D(p) заменой p на jω.

Критерий Михайлова формулируется следующим образом: линейная система n-го порядка устойчива, если годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до +∞ охватывает начало координат и проходит последовательно n квадрантов, повернувшись против часовой стрелки на угол nπ⁄2, где n – порядок системы.

Характеристический полином имеет вид:

Годограф Михайлова строят обычно следующим образом:

1. Находят частоты, при которых годограф Михайлова пересекает вещественную ось. Для этого полагают, что M(ω) = 0. Значения модуля вектора D(jω) получают подстановкой в B(ω) частот, при которых происходит пересечение с вещественной осью.

2. Находят частоты, при которых годограф Михайлова пересекает мнимую ось. Для этого полагают B(ω) = 0. Значения модуля вектора D(jω получают подстановкой в M(ω) частот, при которых происходит пересечение с мнимой осью.

Если система устойчива, то полученные частоты должны чередоваться: частоты пересечения с вещественной осью – ω₁, ω₃, ω₅ и т.д.; частоты пересечения с мнимой осью – ω₂, ω₄, ω₆ и т.д. Причём: ω₁ < ω₂ < ω₃ и т.д.

Найдем частоты, при которых годограф пересекает вещественную ось, при этом M(ω) = 0:

=0

ω₁ = 0 c^-1; ω₃ = 38,5 c^-1.

Найдем модули вектора D(jω) для этих частот. Для этого подставляем ω₁ и ω₃ в B(ω):

B(ω₁) = 235,7312; B(ω₃) = -28648,7.

Найдем частоты, при которых годограф пересекает мнимую ось, при этом B(ω) = 0:

ω₂ = 3,437 c^-1; ω₄ = 250,04 c^-1.

Найдем модули вектора D(jω) для этих частот. Для этого подставляем ω₂ и ω₄ в M(ω):

M(ω₂) = 807,15; M(ω₄) = −2,442*10⁶.

Т.к. ω₁ < ω₂ < ω₃ < ω₄, то система должна быть устойчива. Годограф Михайлова для данной системы представлен на рис. 13.

Рис.13. Годограф Михайлова

Имеем систему четвёртого порядка. Годограф Михайлова охватывает начало координат и последовательно проходит четыре квадранта, а вектор D(jω) поворачивается против часовой стрелки на угол 4π⁄2. Критерий Михайлова выполняется, а, следовательно, система устойчива.