4.6.1. Дві зв'язані квантові ями

Розглянемо систему, що складається із двох квантових ям, розділених бар'єром. Для спрощення обчислень вважатимемо, що це є ідентичні прямокутні квантові ями з однаковою глибиною потенціалів V_b і шириною L. Нехай відстань між ямами дорівнює d і ями розташовані симетрично відносно площини z = 0 (рис. 4.28). Розглянемо рух електрона в такій структурі вздовж осі Oz. Рівняння Шредингера у такій подвійній ямі вздовж осі Oz має простий вигляд

. (4.157)

Доданок є потенціалом лівої ями з центром у точці z = – d/2, а доданок відповідає правій ямі. При цьому потенціал

(4.158)

Вважаючи, що електронні стани у такій системі є суперпозицією електронних станів одиничних невзаємодіючих ям, хвильову функцію електрона запишемо як суму хвилевих функцій одноямних станів

, (4.159)

де  нумерує всі зв'язані та незв'язані стани одноямної проблеми. Однак, якщо ями розділені досить великою відстанню, то тунелювання між станами в різних ямах є процесом малоймовірним. Тоді можна обмежитись розглядом тільки одного рівня, скажімо "i-го", і хвильова функція електрона запишеться у вигляді комбінації

Рис. 4.28. Енергетичні рівні та хвильові функції для двоямної гетеросруктури: штрихова лінія відповідає рівню енергії в одиничній квантовій ямі; для зв'язаних ям цей рівень розщеплюється на два –

(4.160)

Ця хвильова функція відповідає енергії електрона, що приблизно дорівнює енергії електрона в одиничній ямі. Оскільки відстань між ямами є досить великою, як перший крок можна вважати, що енергія електрона є просто двічі виродженою енергією . Тобто електрон у стані і може або займати ліву чи праву ями з імовірністю одиниця. Для корекції енергії та знаходження коефіцієнтів А_і та В_і застосуємо процедуру, що базується на теорії збурень для вироджених станів. Скористаємося тим, що є енергія електрона одиничної ями. Тоді рівняння Шредингера для двох потенціальних ям можна записати у вигляді

(4.161)

і

. (4.162)

Підставимо функцію (4.160) у рівняння (4.157) і скористаємося рівняннями (4.161) та (4.162). Отримаємо рівняння

. (4.163)

Помножимо рівняння (4.163) спочатку на а потім на . Одержані два рівняння проінтегруємо по z. Маємо

та

Уведемо позначення

, (4.164)

, (4.165)

_(4.166)

і отримаємо систему рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів A_i та B_i:

, (4.167)

. (4.168)

Для існування нетривіальних розв'язків системи рівнянь (4.167– 4.168) необхідне занулення детермінанта цієї системи, тобто виконання умови

. (4.169)

Звідси маємо

. (4.170)

Тобто, у системі двох зв'язаних квантових ям виникає зсув та розщеплення вихідного енергетичного рівня на два:

. (4.171)

Таким чином, система енергетичних рівнів двоямної гетероструктури визначається набором інтегралів (4.164)–(4.166). Причому, перший із них (r_i ) називається інтегралом перекривання і визначає міру перекривання хвильових функцій ям. Другий (s_i ) називається інтегралом зсуву і характеризує зсув виродженого енергетичного рівня через взаємодію станів у різних ямах. Третій (t_i) показує міру розщеплення зсунутої лінії. Якщо бар'єрна область (тобто, відстань між ямами) є досить великою, то хвильові функції ям перекриваються слабко. Це означає, що інтеграл перекривання є малим і ним можна знехтувати у виразі для енергії (4.171). Отже, можна записати

. (4.172)

Оскільки значення інтегралів s_i та t_i зазвичай від'ємні, то бачимо, що початковий енергетичний рівень зсувається в бік нижчих енергій, а потім розщеплюється (рис. 4.29). При цьому нижньому рівню ( ) відповідає симетрична хвильова функція (А_і = В_і ), що схематично показана на рис. 4.25 синім кольором. Стан із верхнім рівнем

Рис. 4.29. Діаграма модифікації енергетичних рівнів двох квантових ям при їхній взаємодії. У дужках показано кількість станів із такою енергією

енергії ( ) описується несиметричною хвильовою функцією (А_і = – В_і), яка схематично показана на рис. 4.28 зеленим кольором. Таким чином, тунельна взаємодія станів із двох квантових ям призводить до істотної деформації енергетичної структури вихідних електронних станів. Зазначимо, що завдяки руху електронів у площині ями, повна енергія електрона запишеться у вигляді

. (4.173)

Отже, у структурі, що складається із двох квантових ям, зберігається специфічний характер руху електронів. А саме, у площині ями вони поводять себе як вільні частинки з ефективною масою m^*. Рух у поперечному напрямку є квантованим і просторово обмеженим областю ям. Із рис. 4.28 видно, що обидва (парний і непарний) стани є локалізованими на обох квантових ямах – і парна, і непарна хвильові функції мають екстремуми. Наявність екстремумів і відповідає максимумам квадратів модулів хвильової функції .