4.3.2. Квантові ефекти в неперервному спектрі.

Поперечний транспорт

Вище ми вивчали ефекти конфайнменту електронів в умовах, коли енергії не перевищували глибину потенціальної ями. Розглянемо тепер поведінку квантової частинки, якщо її енергія перевищує висоту потенціального бар'єра і ця енергія характеризується неперервним енергетичним спектром. Як і раніше, розглянемо прямокутну квантову яму. Аналізуючи рівняння Шредингера при , доходимо висновку, що для областей, далеких від квантової ями, розв'язком рівняння будуть дві плоскі хвилі, що розповсюджуються у протилежних напрямках. Перша хвиля відповідає розповсюдженню електрона зліва направо. Тобто, при z  –  маємо падаючу на потенціал та відбиту хвилі, а при z   маємо тільки хвилю, що пройшла потенціальний бар'єр. Інша ситуація відповідає протилежному напрямку руху електрона. Обидва рухи відповідають одному й тому самому значенню енергії. Оскільки ці рухи є еквівалентними, ми розглянемо тільки один. А саме, коли електрон розповсюджується зліва направо. Уведемо хвильовий вектор в області бар'єра як

. (4.53)

Зазначимо, що для енергії, більшої за висоту бар'єра , хвильовий вектор є реальним. Хвильова функція матиме вигляд

(4.54)

Константи a, b, r, t знайдемо з умови неперервності хвильової функції та її похідних на бар'єрі. Ця процедура майже така сама, що й проведена при . Але між ними є й суттєва розбіжність. У цьому випадку система з чотирьох алгебраїчних рівнянь є неоднорідною, і для існування нетривіальних розв'язків не потребує виконання умови занулення детермінанту, що призводило до обмежень припустимих значень енергії. Як результат: константи, які характеризують хвильову функцію руху з неперервною енергією, можуть виражатися в термінах амплітуди падаючої хвилі, яку ми вибрали рівною 1.

Прирівнюючи значення хвильових функцій та їхніх похідних при z = – L/2 та z = L/2, отримаємо систему рівнянь

, (4.55)

, (4.56)

, (4.57)

. (4.58)

Додаючи до рівнянь (4.55) та (4.56) відповідно рівняння (4.57) та (4.58) і віднімаючи від рівнянь (4.55) та (4.56) відповідно рівняння (4.57) та (4.58), отримаємо систему, з якої виключено невідомі a та b:

(4.59)

Віднімемо від другого рівняння цієї системи перше й дістанемо зв'язок між коефіцієнтами r та t:

. (4.60)

Підставивши співвідношення (4.60) у рівняння (4.59), отримаємо

(4.61)

Додамо до першого рівняння системи (4.61) друге. Знайдемо

, (4.62)

і разом із формулою (4.60) отримаємо набір коефіцієнтів, що визначають хвильову функцію електрона за межами потенціальної ями.

Для обчислення коефіцієнтів відбиття і проходження скористаємось формулою потоку частинок

. (4.63)

Для обчислення густини потоку частинок, що падають на область ями, рухаючись зліва направо, використовуємо хвильову функцію

. (4.64)

Тоді

. (4.65)

Хвильова функція електронів, що відбиті потенціалом і рухаються з правої у ліву частину системи,

. (4.66)

Підставляючи цей вираз у формулу (4.63), отримуємо густину потоку частинок, відбитих областю неоднорідності потенціалу,

. (4.67)

Аналогічно, застосовуючи хвильову функцію частинок, що пройшли бар'єрну область,

, (4.68)

отримаємо густину потоку частинок, що пройшли над бар'єрною областю,

. (4.69)

Коефіцієнти проходження і відбиття, що визначені формулами

, (4.70)

таким чином, можна обчислити згідно з виразами:

, (4.71)

. (4.72)

Ці формули ілюструють чисто квантовий ефект при проходженні частинкою бар'єрної області з енергією, що перевищує висоту бар'єра. По-перше, ми бачимо, що при коефіцієнт відбиття R є ненульовим. Це є типовий квантовий ефект відбиття частинки потенціальною ямою, що зникає у класичному наближенні. По-друге, знаменник у формулі (4.71) осцилює зі зміною енергії. Тобто, коефіцієнт проходження частинкою бар'єрної області є осцилюючою функцією енергії. За енергій, що задовольняють умову

, (4.73)

коефіцієнт проходження дорівнює 1. При цьому, коефіцієнт відбиття занулюється (!). При малих значеннях різниці маємо, що і коефіцієнт проходження стає інфінітезімально малим при . Інший цікавий квантово-механічний ефект пов'язаний із поведінкою хвильової функції. А саме, імовірність розміщення частинки в області квантової ями є осцилюючою функцією енергії. Така

Рис. 4.12. Залежність від енергії коефіцієнта проходження у прямокутній потенціальній ямі шириною 25 нм у структурі AlGaAs/GaAs/AlGaAs: a – дірки, Vb=150 меВ, m*=0,48 м; б – електрони, Vb=224 меВ, m*=0,067 м

поведінка може визначати технологічно важливі процеси проникнення та покидання електронами квантової ями. На рис. 4.12 показано поведінку коефіцієнта проходження як функції енергії частинок (дірок та електронів) у квантовій ямі, утвореній структурою AlGaAs/GaAs із шаром GaAs товщиною 25 нм, що характеризується глибиною потенціальної ями 150 меВ для дірок та 224 мeВ – для електронів. Бачимо, що згідно з формулою (4.60), відстань між двома одиничними значеннями коефіцієнта проходження збільшується зі збільшенням ефективної маси носія. Добре видно також, що коефіцієнт проходження при зростанні енергії частинки асимптотично наближається до 1. Цей результат відображає такий очевидний факт: частинка з дуже великою енергією, пролітаючи над областю потенціальної ями, "не помічає" її. Але навіть при дуже великих значеннях енергії частинки її коефіцієнт відбиття не є тотожним нулем, що є проявом квантової поведінки частинки.