Проінтегрувавши формулу (4.269), отримаємо

. (4.271)

Звідси знайдемо струм, що проходить через прилад,

. (4.272)

Для квантових приладів із перенесенням заряду зручною характеристикою є кондактанс, що є квантовим аналогом класичної провідності. Кондактанс (G) визначається як коефіцієнт пропорційності між струмом та різницею потенціалів між берегами квантового приладу

. (4.273)

Тоді з формули (4.272) для кондактансу квантового приладу маємо формулу Ландауера

. (4.274)

Із цієї формули випливає нетривіальний висновок, що показує яскраву відмінність між квантовими та класичними приладами. А саме, навіть у випадку, коли квантовий прилад є ідеальним (тобто розсіяння носіїв у приладі відсутнє), а це означає, що коефіцієнт пропускання приладу дорівнює одиниці, прилад характеризується кінцевою величиною кондактансу, тобто має опір. Причому опір залежатиме від кількості електронних підзон, електрони з яких беруть участь у квантовому транспорті,

. (4.275)

Величина

(4.276)

називається квантом кондактансу (обернена величина (G₀)^–1 відповідає опору 25,2 кОм), а

. (4.277)

Розглянемо тепер, як згідно з формулою (4.269), відбуватиметься транспорт у макроскопічно великому в поперечних напрямках пристрої. У цьому випадку відбувається поперечний рух електронів з поперечними квантовими числами, що є відповідними хвильовими векторами: n = k_y і m = k_z . Тоді енергія поперечного руху

, (4.278)

і функцію розподілу електронів

(4.279)

можна легко обчислити за формулою

, (4.280)

де S – площа поперечного перерізу приладу. Тоді густина струму у пристрої (j = J/S) запишеться у вигляді

. (4.281)

Ця формула має велике практичне значення, оскільки дозволяє обчислювати в наноприладах вольт-амперні характеристики та їхню залежність від концентрації електронів, температури та ін. Експери-

а б Рис. 4.41. Залежність провідності квантової нитки від напруги на точковому контакті, що визначає концентрацію носіїв (а). Схема експерименту (б)

ментальні вимірювання квантування провідності в коротких квантових нитках зазвичай проводяться на структурах, що є не нитками, а так званими точковими контактами, тобто вузенькими перемичками, які з'єднують між собою дві ділянки двовимірного електронного газу. Із формального погляду таку структуру можна уявити як квантову нитку, що має довжину, порівнянну з її шириною. Квантування провідності повинно спостерігатись і в таких структурах, оскільки кінцеві формули (4.274–4.277) не містять ніяких конкретних параметрів щодо розмірів та форми нитки. Експериментальна крива залежності провідності від напруги на затворі, що визначає концентрацію носіїв, має вигляд східцеподібної кривої, висота кожної сходинки дорівнює одному кванту кондактансу (рис. 4.41).

 4.9. Квантові точки

У попередніх підрозділах ми бачили, що перехід від тривимірного електронного газу до двовимірного, і в подальшому до одновимірного, призводить до квантування руху електронів у напрямках, де цей рух обме-

Рис. 4.42. Утворення квантової точки з квантового дроту

жується потенціалом конфайнменту, тобто в напрямку, нормальному до площини плівки, де формується двовимірний електронний газ, та в напрямках, нормальних до осі квантової голки, де формується одновимірний електронний газ. При цьому створення двовимірного газу відбувалося завдяки наявності одновимірного потенціалу V(z), який формувався плоскою гетероструктурою, а створення одновимірного газу – завдяки наявності двовимірного обмежувального потенціалу V(y,z). Для переходу від одновимірного електронного газу до квазінульвимірного, тобто, до електронної системи, де рух обмежується у всіх трьох напрямках, треба, наприклад із квантового дроту відокремити частку, довжина якої складатиме величину порядку (або менше) довжини хвилі де Бройля електрона (рис. 4.42 ). Для визначення особливостей формування електронних станів у квантових точках розглянемо випадок, коли електрон міститься у потенціальному ящику з нескінченно високими потенціальними стінками:

(4.282)

де рух обмежений областю  = ( , , ). Оскільки потенціал зображається сумою потенціалів, що залежать тільки від однієї з координат x, y, z, хвильова функція матиме вигляд добутку хвильових функцій, що описують рух уздовж кожного з напрямків Ox, Oy та Oz. Тобто розв'язок рівняння Шредингера з потенціалом (4.209) запишеться так:

. (4.283)

Цій хвильовій функції відповідає енергія

, n₁, n₂, n₃ = 1, 2, 3, … (4.284)

Рис. 4.43. Сферична квантова точка

Отже,ми отримали очікуваний результат – уздовж усіх трьох напрямків відбувається просторове квантування. Якщо розміри потенціального ящика у двох або у всіх трьох напрямках рівні , або, коли їхні відношення є цілими числами, спостерігатиметься виродження.

Як указувалось у першому розділі книги, де розглядалися технологічні аспекти низьковимірних систем, часто квантові точки отримують у вигляді сферичних частинок нанометрових розмірів (рис. 4.43) . Таким чином, актуальним питанням є вивчення руху електрона у сферично симетричному потенціалі

(4.285)

що залежить тільки від відстані до центра. Отже, маємо задачу руху електрона у полі центральних сил. Рівняння Шредингера з цим потенціалом зручно записувати у сферичних координатах

_(4.286)

Як відомо з курсу квантової механіки величина у квадратних дужках є записом дії оператора квадрата моменту імпульсу частинки

, (4.287)

тоді рівняння Шредингера запишеться у вигляді

(4.288)

Відомо, що за руху частинки у центрально-симетричному полі момент імпульсу зберігається. Якщо розглядати стаціонарні стани квантової частинки з визначеним моментом l та його проекції m, то цими квантовими числами визначається кутова залежність хвильової функції. Згідно з наведеним вище розв'язок рівняння Шредингера з потенціалом зручно шукати у вигляді

, (4.289)

де  та  – сферичні координати, а – сферична функція з l та m квантовими числами, що відповідають кутовому моменту та проекції моменту на вісь Oz. Радіальна функція задовольняє рівняння

(4.290)

із потенціалом

. (4.291)

Ефективний потенціал залежить від квантового числа l і не залежить від квантового числа m. Відповідно, енергетичні рівні мають бути вироджені відносно m . Кількість таких вироджених рівнів є 2l+1. Корисно розглянути деякі прості випадки. Нехай l = 0. У цьому разі хвильова функція має вигляд

(4.292)

де

, . (4.293)

Зшивання функцій та їхніх похідних за r = R дає систему рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів A та B:

(4.294)

Для існування нетривіального розв'язку цієї системи лінійних рівнянь необхідно, щоб її детермінант дорівнював нулю. Тобто,

. (4.295)

Звідси отримуємо

. (4.296)

Оскільки , то для існування розв'язку рівняння (4.296) необхідне виконання умови . Тоді, підставляючи у рівняння (4.296) вирази (4.293), дістаємо

. (4.297)

Беручи до уваги, що згідно з формулою (4.293) , отримуємо з (4.297)

(4.298)

– рівняння відносно . Синус і пряма можуть пересікатися тільки для з інтервалів, де котангенс є від'ємним (помічено червоним на рис. 4.42). Як видно, розв'язки рівняння (4.298) існують тільки для тих значень хвильового вектора, де

, j=1, 2,… (4.299)

Вибираючи j =1, отримуємо умову існування ненульового розв'язку, тобто, умову виникнення енергетичного рівня, що характеризується нульовим орбітальним моментом. Для цього потенціал електронного

Рис. 4.42. Області існування розв'язків рівняння (4.225)

конфайнменту квантової точки має бути не меншим за

. (4.300)

Якщо потенціал є дуже глибоким, то, як випливає з рівняння (4.225),

, (4.301)

звідки отримуємо систему енергетичних рівнів у квантовій ямі зі сферично-симетричним потенціалом

. (4.302)

Рис. 4.43. Пірамідоподібна квантова точка. Зображення атомно-силової мікроскопії (ліворуч), схема геометрії моделювання (праворуч)

Підкреслимо, що у випадку сферично-симетричного потенціалу, енергетичні рівні електронів залежать від розмірів квантової точки, як від оберненого квадрата радіуса. При цьому залежність від головного квантового числа є квадратичною.

Методом молекулярно-променевої епітаксії квантові точки на поверхні часто вирощують у вигляді чотирикутних пірамід (рис. 4.43). Покажемо, як у випадку пірамідальних квантових точок визначити енергетичну структуру електрона, локалізованого у такій квантовій точці. Розглянемо квантову точку, що має вигляд чотирикутної піраміди і розташована на поверхні діелектрика. Таким чином, беручи до уваги, що робота виходу електрона з напівпровідника є великою, можна вважати, що обмежувальний потенціал є нульовим усередині частинки і нескінченно великим іззовні. Тобто, можна записати для області локалізації електрона

Рис. 4.44. Перетворення піраміди у призму заміною змінних (x,y,z)  (u,v,w)

(4.303)

де , – кут при вершині піраміди. Незважаючи на простий вигляд граничних умов у разі нескінченно високих потенціальних стінок, складна область локалізації електрона у змінних (x,y,z) не дозволяє розв'язати задачу аналітично. Для пошуку аналітичних розв'язків зручно перейти до інших змінних (u,v,w):

(4.304)

завдяки чому пірамідальна область електронного конфайнменту перетвориться на область у вигляді прямої призми (рис. 4.44):

. (4.305)

Далі треба записати в нових змінних оператор Лапласа³

_(4.306)

Тоді хвильове рівняння матиме вигляд рівняння Гельмгольца

(4.307)

із . На жаль, це рівняння у загальному випадку не можна розв'язати аналітично. Для пошуку аналітичних розв'язків введемо деякі обмеження на форму піраміди, а саме, розглядатимемо такі пірамідоподібні частинки, в яких кут при вершині не перевищує 90^°. Це наближення означає, що . Тоді рівняння (4.307) перетворюється на рівняння з відокремленими змінними, і хвильова функція набуває вигляду добутку хвильових функцій, кожна з яких залежить лише від однієї змінної:

. (4.308)

На практиці це означає, що рівняння (4.307) розпадається на таку систему рівнянь:

(4.309)

Розглянемо перші два рівняння. Оскільки для пірамід із невеликим кутом при вершині , то, вважаючи, що другі доданки у дужках перших двох рівнянь системи (4.309) набагато менші за перші, рівняння Шредингера у цих змінних набуде простого вигляду

. (4.310)

Розв'язок такого рівняння відомий

. (4.311)

Для того, щоб знайти коефіцієнти та , що визначають хвильові функції (4.238) в області зміни змінних u та v, , треба задовольнити граничні умови

(4.312)

У результаті отримуємо

, (4.313)

. (4.314)

Третє рівняння системи (4.309) має вигляд стандартного диференціального рівняння для функції Бесселя. Після звичайної поліноміальної підстановки , рівняння зводиться до звичайного циліндричного рівняння для функції . Розв'язок отриманого рівняння має вигляд

(4.315)

із граничними умовами

. (4.316)

Як результат, переходячи до змінних (x,y,z), отримуємо хвильову функцію електрона у вигляді

_(4.317)

де константа визначається з умов нормалізації хвильової функції

, (4.318)

тут , а інтегрування ведеться по об'єму піраміди. Для знаходження власних значень (енергетичного спектра) треба використати граничні умови (4.312) та (4.316), тобто рівняння

(4.319)

З умови існування розв'язків цих рівнянь отримуємо енергетичний спектр електрона у пірамідоподібній квантовій точці.

, (4.320)

Рис. 4.45. Залежність енергетичної структури електрона у пірамідоподібній квантовій точці від кута при вершині. Праворуч показано номер стану електрона

де – хвильовий вектор, що задовольняє систему рівнянь (4.319). Використовуючи формулу (4.320) , можна чисельно проаналізувати залежність енергетичної структури електрона в пірамодоподібній квантовій точці від її форми. При цьому розглянемо два випадки: 1) об'єм піраміди є сталим, 2) незмінними є розміри основи піраміди. В обох цих випадках параметром форми є кут при вершині. Результати таких чисельних розрахунків для квантових точок однакового об'єму показано на рис. 4.45. Як видно, енергетичний спектр електрона значно залежить від кута при вершині. При цьому навіть змінюється розташуваня рівнів. Використовуючи явний вигляд хвильової функції, легко обчислити розподіл густини ймовірності перебування електрона всередині квантової точки для різних електронних станів. На рис. 4.46 показано такий розподіл густини ймовірності розміщення електрона всередині квантової точки у вигляді чотирикутної піраміди з кутом при вершині . За межу взято поверхню усередині якої ймовірність знайти електрон дорівнює 0,9. Як бачимо, симетрія розподілу електронної густини відтворює симетрію чотирикутної піраміди з одного боку і показує складну просторову структуру електронних станів у таких квантових точках. Отже, виготовляючи наночастинку у вигляді піраміди, можна сильно змінювати стани електронного кон-

Рис. 4.46. Щільність розподілу елекронної ймовірності всередині пірамідоподібної квантової точки для різних електронних станів (позначено під кожним рисунком)

файнменту і тим самим створювати системи з наперед заданими електронними властивостями.

Для визначення щільності електронних станів усередині квантової точки слід враховувати, що за ненульової температури електронні рівні не можуть бути нескінченно тонкими, а будуть розмиті з шириною розмиття порядку kT. Щільність станів квантової точки визначається за формулою

, (4.321)

де . Для ідеалізованої системи піки є нескінченно вузькими та високими. У дійсності температурне розширення енергетичних рівнів, розсіяння на дефектах призводять до розширення цих піків, та зменшення амплітуди. Як результат, щільність станів набере вигляду на-

Рис. 4.47. Щільність станів квантової точки

бору вузьких піків скінченної висоти (рис. 4.47). Але тим не менш, ідеалізована система (за яку можна уявити маленьку частинку напівпровідника за низької температури) дає правильне уявлення про характерні риси поведінки електронів квантової точки.

Як ми бачили, для довільного потенціалу V(x,y,z) обчислення енергетичного спектра є складною проблемою і в більшості випадків може виконуватися лише чисельно. Але часто для цих обчислень достатньо знати повну кількість енергетичних рівнів у квантовій точці.

Кількість станів одновимірного руху електронів на інтервалі завдовжки L, що припадає на інтервал хвильових векторів k, визначається формулою

. (4.322)