Теоремы о взаимодействии пространственных элементов симметрии
Теорема 1.6: Последовательное отражение в двух параллельных плоскостях симметрии равносильно трансляции на параметр t=2a, где а – расстояние между плоскостями.
Теорема 1.7: Плоскость симметрии и перпендикулярная ей трансляция с параметром t порождают новые вставленные плоскости симметрии параллельные порождающей, аналогичные ей по типу и отстоящие от неё на расстояние t/2.
Теорема 1.8: Плоскость симметрии m и трансляция t составляющая с плоскостью угол α, порождают плоскость скользящего отражения, параллельную порождающей плоскости и отстоящую от неё в сторону трансляции на 1/2t sinα. Величина скольжения вдоль порождённой плоскости равна t cosα.
Теорема 1.9: Отражение в двух пересекающихся плоскостях симметрии, можно заменить вращением вокруг оси симметрии, совпадающей с линией пересечения этих плоскостей. Угол поворота вокруг этой оси равен удвоенному углу между плоскостями.
Теорема 1.10: Трансляция, перпендикулярная оси симметрии, порождает такую же ось симметрии, параллельную порождающей и смещённую на t/2 в направлении трансляции.
Теоремы о сочетании элементов симметрии
Теорема 1.11: Линия пересечения двух плоскостей симметрии всегда является осью симметрии, действие которой равно сумме действий обеих плоскостей; элементарный угол поворота оси вдвое больше угла, образованного плоскостями.
Теорема 1.12: При наличии двух пересекающихся осей симметрии всегда следует искать третью равнодействующую ось, проходящую через точку пересечения первых двух
Теорема 1.13: а)При наличии центра инверсии С и чётной оси L2n перпендикулярно последней проходит плоскость симметрии Р.
б) При наличии центра инверсии С и проходящей через него плоскости симметрии Р перпендикулярно последней находится чётная ось симметрии L2n.
в) При наличии чётной оси L2n перпендикулярной плоскости симметрии Р всегда присутствует центр инверсии С.
Правильная система точек - это совокупность симметрично эквивалентных позиций (точек), связанных между собой симметричными преобразованиями пространственной группы. Правильную систему точек можно получить из одной точки, повторив её при помощи всех операций симметрии, свойственных данной пространственной группе.
Для правильной системы точек существует понятия общей и частной систем.
Частная правильная система точек получается, если исходная точка лежит хотя бы на одном из элементов симметрии или отстоит ровных расстояниях от одинаковых элементов симметрии.
Общая правильная система точек получается, если исходная точка (а значит, и все остальные, ей симметрично эквивалентные) не соприкасаются ни с одним из элементов симметрии и лежат не на равных расстояниях от одинаковых элементов симметрии.
Кратностью называется число точек в элементарной ячейке, симметрично эквивалентных друг другу. Кратность аналогична числу граней простой формы. У точек общей правильной системы кратность выше, чем у частной.
Трансляцией называется элемент симметрии, действие которого заключается в том, что в результате переноса вдоль определенного направления на некоторое характерное только для данного дисконтинуума расстояние бесконечная пространственная решетка совмещается сама с собой.
Осевыми
трансляциями
называются переносы вдоль осей
кристаллографических систем координат:
a
– вдоль
,
b
– вдоль
и c
– вдоль
.
Системой трансляций называется минимальная совокупность трансляций, с помощью которых можно получить все узлы пространственной решетки, соответствующей данному дисконтинууму.
Минимальное число трансляций зависит от выбора кристаллографических осей.
Базисом называется минимально необходимое число точек, с помощью только трех осевых трансляций можно построить всю пространственную решетку дисконтинуума.
Плоскостью скользящего отражения называется элемент симметрии, действие которого заключается в зеркальном отражении относительно плоскости с последующим сдвигом вдоль нее, после чего бесконечная система точек совмещается сама с собой.
а - сдвиг на а/2 вдоль плоскости перпендикулярной оси ;
с - сдвиг на а/2 вдоль плоскости перпендикулярной оси ;
а
(горизонтальная плоскость симметрии);
……с (вертикальная плоскость симметрии)