Методика решения задач методом Ньютона.

1. Задать начальное приближение , так чтобы выполнялось неравенство , а также малое положительное число ɛ. Положить k=0.

2. Вычислить по формуле: .

3. Если - процесс завершить и положить .

Если положить k=k+1 и перейти к п.2.

Пример: Решить уравнение методом Ньютона с точностью ɛ=0,0001 на отрезке [1;3].

Решение.

1. Найдем первую и вторую производную функции .

Найдем значения функции и значения второй производной на концах отрезка:

и .

Тогда, в качестве начального приближения возьмем , т.к. .

2. Положим k=0.

3. Положим k=1.

4. Положим k=2.

5. Положим k=3.

Процесс завершен, положим

ТЕМА №4. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ТАБЛИЧНЫХ ФУНКЦИЙ (АПРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ).

ПЛАН.

1. Основные понятия аналитического приближения табличных функций.

2. Интерполирование табличных функций.

3. Оценка погрешности полиномиальной интерполяции.

4. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

5. Интерполяционный многочлен Ньютона.

6. Линейное интерполирование.

7. Полиномиальное приближение по методу наименьших квадратов (МНК).

1. Основные понятия аналитического приближения табличных функций.

В вычислительной практике приходится иметь дело с табличными значениями функции одной или нескольких переменных.

Рассмотрим функции одной переменной . Для рассмотрения таблицы значений функции берется отрезок , выбираются точки и каким либо способом определяются значения ( ) функции в этих точках.

Определение: Числа - называются табличными аргументами, а числа - табличными значениями функции .

Если табличные аргументы равностоящие, т.е. ( ), общее расстояние между ними называют шагом таблицы. Тогда имеет место формула: , ( ).

Математические таблицы строятся для известных функций и имеют, как правило, постоянный шаг. Встречаются таблицы с неравностоящими аргументами.

Аргументы таблицы считаем точными числами, а табличные значения находятся путем вычислений или измерений и являются приближенными числами. Если они все имеют одинаковую абсолютную погрешность, то эта погрешность называется погрешностью таблицы, иногда погрешность на разных участках различна.

Определение: Функцию называем табличной функцией, если на некотором отрезке задана таблица ее значений.

Задача аналитического приближения табличных функций.

Основная задача табличных функций:

Аналитическое приближение на основе известной таблицы значений, т.е. поиск такой аналитически заданной и достаточно просто вычисляемой функции , которая в каком – то смысле близка к табличной функции на всем или на некоторой его части.

Потребность в формуле :

1. Использование при вычислении значений функции :

Если - табличный аргумент, то найти легко – оно равно при некотором с той же точностью с какой определено .

Если , то без замены решить задачу невозможно (таблица эмпирическая, и точная связь неизвестна) или трудно (таблица математическая, но простых способов непосредственного вычисления не существует).

2. Аналитическое приближение является целью математической обработки эмпирических таблиц.

3. На основе замены выводится численные методы решения ряда задач.

Если функция отыскивается на всем , то табличная функция глобально приближена.

Если функция отыскивается на некотором отрезке , то табличная функция локально приближена.

Методы аналитического приближения и :

• интерполирование функций,

• метод наименьших квадратов.

Интерполирование используется в случае таблиц с небольшим количеством аргументов, а метод наименьших квадратов – не ограничивает количество табличных данных и используется для установления приближенной аналитической зависимости между параметрами эмпирических таблиц.