Интерполяционный многочлен Лагранжа.
Пусть узлы таблицы
-
…
…
расположены произвольным образом. Интерполяционный многочлен будем искать в виде:
.
(1)
Коэффициенты
выбираем так, чтобы выполнялось условие:
.
При
все слагаемые в формуле (1), начиная со
второго, равны нулю. Следовательно,
,
и поэтому,
.
Действуя по аналогии, получаем:
Подставляя найденные коэффициенты в (1), получим общее выражение для интерполяционного многочлена Лагранжа:
Остаточный член и оценочная функция для интерполяционной формулы Лагранжа:
Пример:
Найти интерполяционный многочлен
Лагранжа первой степени по узлам
данной таблицы:
-
0,5
0,7
1
2
2,4
3
Решение.
Подставляя
и
,
имеем
Пример:
Дана таблица значений функции
.
-
1,5
1,6
1,7
4,48
4,95
5,47
Построить интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени.
Вычислить
.Оценить интерполяционную погрешность числа
.
Решение.
Построим интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени:
Найдем
.
Т.о. имеем
Оценим интерполяционную погрешность:
Погрешность
приближения
оцениваем числом:
,
где
Имеем,
интерполяционная
формула обеспечивает 2 верных цифры
после запятой
точность
результата достаточно высока.
5.Интерполяционный многочлен Ньютона.
Пусть для функции построена таблица вида
-
…
…
ее значений с постоянным шагом . Пусть .
Конечные разности.
В случае таблиц с равностоящими узлами используются величины, называемые конечными разностями.
Определение: Конечные разности первого порядка – это разности между соседними табличными значениями:
Конечные разности второго порядка:
Конечные разности k-го порядка:
Для таблицы
-
…
…
конечные
разности наивысшего порядка будут
.
Можно определить разности функций в произвольной точке при некотором шаге h
- приращение
функции,
и т.д.
Конечные разности удобно располагать в таблице:
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По таблице конечных разностей часто удается находить наилучшую степень интерполяционного многочлена. Если разности k – го порядка на каком-то участке таблицы практически постоянны, то это значит, что здесь табличная функция близка к многочлену k-ой степени.
Пример:
Найдите значение функции
,
для
1;
1,25; 1,5; 1,75; 2 и построить таблицу конечных
разностей:
Решение.
Конечные разности будем находить согласно формуле:
x |
f(x) |
Δy |
Δ2y |
Δ3y |
Δ4y |
1 |
4 |
0,953125 |
0,46875 |
0,09375 |
0 |
1,25 |
4,953125 |
1,421875 |
0,5625 |
0,09375 |
|
1,5 |
6,375 |
1,984375 |
0,65625 |
|
|
1,75 |
8,359375 |
2,640625 |
|
|
|
2 |
11 |
|
|
|
|