2. Метод половинного деления.

Пусть дано уравнение и отделен корень х_*, т.е. найден отрезок , что и на концах отрезка функция имеет разные знаки, т.е. .

Определение: Отрезок называется начальным интервалом неопределенности, потому что известно, что корень ему принадлежит, но его местоположение с требуемой точностью не определено.

Уточнение корня: Построение последовательности вложенных друг в друга отрезков, каждый из которых содержит корень уравнения. Для этого находится середина отрезка текущего интервала неопределенности: и в качестве следующего интервала неопределенности из двух возможных выбирается тот, на концах которого функция имеет разные знаки.

Процесс завершается, когда длина текущего интервала неопределенности становится меньше заданной величины ɛ, задающей точность нахождения корня. В качестве приближенного значения корня будет середина последнего интервала неопределенности.

Методика решения задачи.

1. Найти начальный интервал неопределенности одним из методов отделения корней. Задать малое положительное число ɛ. Положить k=0.

2. Найти середину текущего интервала неопределенности: _.

3. Если , то положить a_k+1=a_k, b_k+1=c_k.

Если , то положить a_k+1=c_k, b_k+1=b_k,

_{в результате находится текущий интервал}

4. Если , то процесс завершить и положить . приближенное значение корня можно найти по формуле: .

Если же _, то положить k=k+1 и перейти к п.2.

Замечание №1: Метод имеет линейную, но обусловленную сходимость, и его погрешность за каждую итерацию уменьшается в два раза:

и тогда число итераций можно найти по формуле:

,

Замечание №2: Метод половинного деления не обобщается на системы нелинейных уравнений и не может использоваться для нахождения корней четной кратности.

Пример: Найти корень уравнения методом половинного деления с точность ɛ=0,01.

Решение.

Н айдем начальный интервал неопределенности графическим методом. Для этого построим график функции .

Имеем, что наше уравнение имеет один корень, который, как видно из графика функции лежит в отрезке [0;0,5].

1. Положим k=0.

Т.о. имеем, а₀=0, b₀=0,5. Проверим знаки функции на концах отрезка:

функция имеет разные знаки на концах отрезка.

2. Положим k=1

3. Положим k=2

4. Положим k=3

5. Положим k=4

6. Положим k=5

7. Положим k=6

процесс завершим и положим

3. Метод хорд решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

В методе хорд при тех же предположениях, что и в методе половинного деления отрезок делится в отношении .

Г еометрически метод хорд эквивалентен замене кривой хордой, проходящей через точки и .

Уравнение хорды АВ имеет вид: , пологая, что х=х⁽¹⁾ и у=0, получим:

Предположим, что сохраняет постоянный знак, и рассмотрим два случая:

1 случай:	2 случай:
Неподвижен конец а:	Неподвижен конец b:

Замечание №1: Если задача сводится к рассматриваемому, если уравнение записать в форме .

Замечание №2: Для выявления неподвижного конца используется условие: , где t=а или t=b.

Если неподвижен конец а, применяется формула:

Если неподвижен конец b, применяется формула: