4. Метод Зейделя решения слу.

_{Этот метод является модификацией метода простых итераций и в некоторых случиях приводит к более быстрой сходимости.}

_{Отличие от метода простых итераций: при нахождении i – ой компоненты (k+1) – го приближения сразу используется уже найденные компоненты (k+1) –го приближения с меньшими номерами 1, 2, …, i-1. При рассмотрении развернутой формы системы итерационный процесс записывается в виде:}

_{сходится к единственному решению исходной системы при любом начальном приближении .}

_{Теорема №1(о достаточном условии сходимости м. Зейделя): Если для системы какая – либо норма матрицы меньше единицы, то процесс последовательных приближений:}

сходится к единственному решению исходной системы при любом начальном приближении .

Замечание 1: Для обеспечения сходимости метода Зейделя требуется преобразовать систему вида к виду с преобладанием диагональных элементов матрицы .

Замечание 2: Условие преобладания диагональных элементов является достаточным условием для сходимости, но не является необходимым.

Замечание 3: Процесс метода Зейделя называется последовательно – итерационным, т.к. каждой итерации полученные из предыдущих уравнений значения подставляются в последующие.

Методика решения задач.

1. _{Преобразовать систему к виду .}

2. _{Задать начальное приближение решения произвольно либо . Задать малое положительное число ɛ (точно). Положить k=0.}

3. _{Вычислить следующее приближение по формуле}

_.

4. _{Если выполняется условие , то процесс завершить и положить . Иначе положить k=k+1 и перейти к п.3.}

Пример: Методом Зейделя с точностью ɛ=0,001 решить систему уравнений

.

Решение.

1. Преобразим систему вида к виду _, (выше было показано, что условие преобладания диагональных элементов выполнено).

Из этой системы выразим , получим систему вида:

, при этом условие сходимости выполнено .

2. Зададим начальное приближение - произвольно. По условию ɛ=0,001.

3. Произведем расчеты по формуле:

и расчеты представим в таблице:

k
0	1,2	0	0	-
1	1,2	1,06	0,948	1,06>ɛ=0,001
2	0,9992	1,00538	0,9991	0,2008>ɛ=0,001
3	0,9996	1,0002	1,000	0,0052>ɛ=0,001
4	1,000	1,000	1,000	0,0004>ɛ=0,001

_{3.1. Положим k=0}

- процесс продолжаем.

_{3.2. Положим k=1}

- процесс продолжаем.

_{3.3. Положим k=2}

- процесс продолжаем.

_{3.4. Положим k=3}

- процесс завершим и положим - в свою очередь этот ответ является точным решением этой системы.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача №1. Сравнить количество итераций, требующих для получения решения системы

методом простых итераций и методом Зейделя с точностью ɛ=0,001.

Задача №2. Методом простых итераций для и методом Зейделя решить для систему уравнений с точностью 0,001

.