Контрольные вопросы.

К какому виду необходимо преобразовать систему уравнений для использования итерационных методов?
Какие достаточные условия обеспечивают сходимость метода простых итераций и метода Зейделя?
Установите, выполняется ли необходимые и достаточные условия сходимости метода простых итераций для следующей системы:

Как определить число необходимых итераций?
Алгоритм метода простых итераций. В чем заключается отличие метода простых итераций от метода Зейделя?

ТЕМА №3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

ПЛАН.

Постановка задачи решения уравнений. Отделение корней уравнения.
Метод половинного деления решения алгебраических уравнений.
Метод хорд решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений.
Метод касательных (Ньютона) решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений.

Постановка задачи решения уравнений. Отделение корней уравнения.

Пусть дано нелинейное уравнение

где - функция, определена и непрерывна на некотором промежутке, (на могут быть наложены дополнительные ограничения).

Функция может быть задана в виде:

Т ребуется найти корни уравнения , т.е. найти числа х_*1, х_*2,…, х_*_n которые путем подстановки их в уравнение превращают уравнение в верное числовое равенство. Числа х_*1, х_*2,…, х_*_n называются нулями функции .

И ногда удобно уравнение записывать равносильным ему: где и - более простые функции, чем .

Тогда при задании уравнения в виде нулями функции являются точки пересечения с осью Ох, а при задании в виде - абсциссы точек пересечения функций и .

Решение уравнения осуществляется по этапам:

Находятся отрезки внутри каждого из которых содержится один простой корень или кратный корень - этот этап называется отделением корней.
Уточнение значения каждого корня до заданной точности одним из численных методов.

Отделение корней.

Отделение корней может производится:

графически (путем построения графика функции );
аналитически (через построение экстремумов, между которыми находится корень).

При графическом методе отделения корней, строится график функции и берутся отрезки где лежит точка пересечения функции с осью Ох.

При аналитическом методе, пользуются теоремой:

Теорема: Если непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах отрезка [a;b], т.е. , то внутри этого отрезка содержится по крайне мере один корень уравнения .

Таким образом, необходимо:

определить область определения функции ;
найти или где не существует (т.е. найти критические точки функции);
определить знак функции в критических точках или в непосредственной близости от них;
анализируется ряд знаков функции, по числу смен знаков, определяют количество корней, равных числу смен знаков и интервалы, где локализированы эти корни. При необходимости можно дополнительно к критическим точкам использовать и произвольные точки для сужения интервала локализации корня, особенно в случае, когда одна из границ интервала находится на .