3.Задача теории погрешности.

3.1. Абсолютная и относительная погрешность суммы и разности приближенных чисел.

При вычислении абсолютной и относительной погрешности используют формулы дифференцирования, в которых дифференциалы независимых переменных заменяются погрешностями ( ).

Пусть даны числа и заданы их абсолютные погрешности , т.е. .

Найдем а₁+а_2.

, заменим знак дифференциала на знак абсолютной погрешности, имеем . Т.о. в итоге получим,

_●

Найдем а₁-а_2. Пусть

, заменим знак дифференциала на знак абсолютной погрешности, имеем . Т.о. в итоге получим,

_●

Теорема №1: Абсолютная погрешность суммы и разности двух приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых:

Замечание: Эта теорема справедлива и для произвольного числа слагаемых, если они имеет одинаковую абсолютную погрешность:

Пусть и .

Найдем относительную погрешность суммы и разности.

●

Теорема №2: Относительная погрешность суммы и разности двух приближенных чисел определяется по формуле:

Следствие из теоремы №2: Для произвольного числа слагаемых относительная погрешность выражается формулой:

Пример: Стороны треугольника а^*=17,3 см, b^*=23,6 см, с^*=14,2 см замерены с абсолютной погрешностью см. Определить абсолютную и относительную погрешность периметра треугольника.

Решение.

Периметр треугольника определяется по формуле: Р=а+b+с.

Тогда, абсолютная погрешность периметра:

Р=17,3+23,6+14,2=55,1 см.

см.

Р=55,1±0,3 см

Найдем верхнюю и нижнюю границу относительной погрешности сторон треугольника:

Пусть , тогда

В нашем случае , тогда получаем

2. Абсолютная и относительная погрешность произведения и частного приближенных чисел.

Найдем абсолютную и относительную погрешность для .

●

Найдем абсолютную и относительную погрешность для :

Теорема №3: Абсолютная погрешность произведения двух приближенных чисел находится по формуле:

_{Теорема №4: Абсолютная погрешность частного двух приближенных чисел находится по формуле:}

Теорема №5: Относительная погрешность произведения и частного двух приближенных чисел равна сумме относительных погрешностей его сомножителей:

Пример: Ребра прямоугольного параллелепипеда а^*=4,3см, b^*=1,6см, с^*=2,8см замерены с абсолютной погрешностью Δ(а^*)=Δ(b^*)=Δ(с^*)=0,1см. Определить абсолютную и относительную погрешность объема параллелепипеда.

Решение.

Объем параллелепипеда определяется по формуле:

Найдем сначала относительную погрешность объема параллелепипеда:

, где

Т.о. из формулы , имеем см.

2. Абсолютная и относительная погрешность при вычислении функции нескольких переменных.

Зная погрешность исходных величин, требуется определить погрешность данной функции от этих величин.

Пусть задана дифференцируемая функция и известны абсолютные погрешности аргументов , тогда справедливы следующие соотношения:

Абсолютная погрешность функции:

Относительная погрешность функции:

Замечание: Для функции одной переменной эти погрешности записываются в виде:

Пример: Вычислить значение функции , ее абсолютную и относительную погрешность, если

Решение.

Найдем абсолютную погрешность функции и ее аргументов:

Имеем, .

Найдем относительную погрешность функции и ее аргументов:

Имеем, .

Задачи для самостоятельного решения.

1. Округляя числа до трех цифр, определить абсолютную и относительную погрешности получения приближения:

   1,1426	0,11661	0,01015	0,62551	1,9873
   921,55	0,0001465	0,12545	8,7049	45,651

2. Определить абсолютную погрешность следующих приближенных чисел по их относительной погрешности:

   № п/п	а	(а), %
   1	5973	0,1
   2	2,52	0,7
   3	0,953	0,04
   4	1,853	0,05
   5	0,86341	0,0004

3. Найти абсолютную и относительную погрешность следующих приближений:

   1:3 0,33

   1:9 0,111

   6:7 0,86

   :4 0,7854

   =2,64

4. Зная абсолютную погрешность приближенного числа, определить сколько в этом числе верных знаков.

   № п/п	а	(а)
   1	1,202	0,6
   2	4,874	0,3
   3	1,303	0,1
   4	1,456	0,1
   5	0,752	0,0001

5. Пользуясь формулами для нахождения погрешности функций приближенных аргументов, найти абсолютную и относительную погрешность функции:

6. Объем куба V=19,75 см³ вычислен с точностью V=0,01 см³. Определить длину ребра куба и точность полученного ответа.

7. Определить площадь полной поверхности усеченного конуса и его относительную погрешность, если радиусы его оснований и образующей измерены с точностью до 0,01см:

R=23,64см, r=17,31см, l=10,24см (формула )