ТЕМА №1. ВВЕДЕНИЕ В ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕНЫХ МЕТОДАХ. ОШИБКИ ВЫЧИСЛЕНИЙ.

ПЛАН.

1. Понятия о численных методах.

2. Погрешности вычислений.

3. Задача теории погрешности.

1. Понятие о численных методах.

Проектирование и обработка современных технических систем связаны с теоретическими расчетами и исследованиями, предваряющими выбор определяющих параметров конструкций. Эти расчеты проводятся с использованием ЭВМ и их систем и вычислительных методов.

При этом выполняются этапы:

1. Физическая постановка задачи (результат этого этапа является общая постановка (формулировка) задачи в содержательных терминах).

2. Поиск, выбор и модификация математического метода: (осуществляется:

• запись основных математических уравнений, соотношений, формул, описывающих задачу;

• запись дополнительных математических уравнений, связей, граничных и краевых условий;

• предварительное обоснование математической модели).

3. Разработка, выбор или модификация математического метода (осуществляется на основе ресурсов компьютера).

4. Составление алгоритма

5. Разработка программного обеспечения.

6. Решение задач и анализ результатов (обоснование метода и модели путем их методических, параметрических, компьютерных исследований в привязке к реальному объекту).

При решении задачи аналитическими методами («в ручную») получаются точные решения в виде математических формул, а на компьютере приближенные, т.е. задачи широкого класса при обработке современных средств осуществляется численными методами.

Определение: Численные методы – это методы приближенного решения задач прикладной математики, основанные на реализации алгоритмов, соответствующих математическим моделям.

Т.е. численные методы дают не общее, а частичное решение, которое определяется в дискретных областях изменения независимых переменных.

2. Погрешности вычислений.

Различают два вида погрешностей:

Абсолютная погрешность некоторого числа равна разности между его истинным значением и приближенным значением, полученным в результате вычисления или измерения.

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к приближенному значению числа.

Таким образом, а – точное, но как правило, неизвестное значение величины.

а^* - ее известное приближенное значение.

Определение: Абсолютная погрешность приближения а^* является: . Относительной погрешностью приближения а^* является: .

Т.к. величина а – неизвестна, при этом необходимо определить погрешность, то вводится придельная относительная погрешность:

или

- отрезок которому принадлежит точное значение а.

Т.о. величина а лежит в Δ – окрестности

Придельная относительная погрешность а^*определяется отношением:

Определение: Значащими цифрами приближенного числа а^* называются все цифры в его записи, начиная с первого ненулевого.

Пример: Выделить значащие цифры следующих чисел

2,396037 0,00167 325000 0,00005

Определение: Первые n значащих цифр приближенного числа называются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает (становится меньше) 0,5 единицы разряда, соответствующего n-ой значащей цифре, считая слева на право. Остальные цифры называются сомнительными.

Пример: выделить верные значащие цифры чисел:

а) х=0,004507, Δ=0,1∙10^-4, б) х=12,396, Δ=0,3∙10^-1, в) х=9,999785, Δ=0,4∙10^-3

Решение.

а) х=0,004507, Δ=0,1∙10^-4, n=4 – разряд числа

б) х=12,396, Δ=0,3∙10^-1, n=5 – разряд числа

в) х=9,999785, Δ=0,4∙10^-3, n=7 – разряд числа

Т.о. возникает вопрос надобности в округлении приближенного числа, т.е. замене его числом с наименьшим количеством значащих цифр.

Замечание: Для округления числа а до n значащих цифр, следует отбросить все его цифры стоящие справа от n – ой значащей цифры.

Правило округления:

1. Если первая из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняются без изменения.

2. Если первая из отброшенных цифр больше 5 и среди оставшихся отброшенных цифр есть не нулевые, то к последней оставшейся цифре прибавляется единица.

3. Если первая из отброшенных цифр равна 5 и остальные отброшенные цифры нулевые, то последняя оставшаяся цифра:

• не изменяется, если она четная,

• увеличивается на единицу, если она нечетная.

Пример: Найти абсолютную и относительную погрешность числа π=3,141592654…, заданного двумя цифрами после запятой, тремя цифрами после запятой.

Решение.

Найдем погрешность числа π=3,141592654…, заданного двумя цифрами после запятой.

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Найдем погрешность числа π=3,141592654…, заданного тремя цифрами после запятой.

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность: .

Замечание: абсолютная и относительная погрешности записываются в виде с одной или двумя значащими цифрами, и они округляются с избытком. В записи приближенных чисел они указываются следующим образом:

- абсолютная погрешность

- относительная погрешность.

Т.о. ответ в примере примет вид:

для округления до числа π с двумя цифрами после запятой - абсолютная погрешность и - относительная погрешность. Для округления числа π с тремя цифрами после запятой - абсолютная погрешность и - относительная погрешность.