1. Простая годовая учетная ставка.

, (2.1)

где D_г – сумма процентных денег, выплачиваемая за год;

S – сумма, которая должна быть возвращена.

D_г = d S. (2.2)

2. Общая сумма процентных денег.

D = n D_г = n d S, (2.3)

где n – продолжительность периода начисления в годах.

3. Сумма, получаемая заемщиком.

, (2.4)

где - продолжительность периода начисления в днях;

К – продолжительность года в днях.

Преобразуя формулы, получаем:

(2.5)

(2.6)

(2.7)

На практике учетные ставки применяются в основном при учете (т.е. покупке) векселей и других денежных обязательств.

Вопрос 3. Начисление сложных процентов.

Инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход начисляется не с исходной величины, а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. Т.о. база, с которой начисляются проценты, все время возрастает.

Использование в расчетах сложного процента в случае его многократного начисления более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает.

1. Сложные ставки ссудных процентов.

Введем следующие обозначения:

i_с – относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов;

k_н.с – коэффициент наращения в случае сложных процентов;

j – номинальная ставка сложных ссудных процентов.

По прошествии первого года наращенная сумма, в соответствии с формулой (1.6), составит

S₁ = P (1 + i_c).

Еще через год это выражение применяется уже к сумме S₁:

S₂ = S₁ (1 + i_c) = P (1 + i_c)²

По прошествии n лет наращенная сума составит

S = P (1 + i_c)ⁿ (3.1)

(3.1.1)

(3.1.2)

Применяя операцию логарифмирования, получаем

(3.1.3)

Множитель наращения k_н.с соответственно будет равен

k_н.с = (1 + i_c)ⁿ (3.2)

Если срок ссуды n в годах не является целым числом, множитель наращения равен:

, (3.3)

где n = n _a + n_b;

n _а – целое число лет;

n _b – оставшаяся дробная часть года.

Чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов. Поэтому при значительном периоде времени, когда возникает возможность выбора между низкой сложной процентной ставкой и более высокой простой, следует отдавать предпочтение первому варианту.

Если уровень ставки сложных процентов будет разным на различных интервалах начисления, то n₁, n₂, …, n_N – продолжительность интервалов начисления в годах, а i₁, i₂, …,I_N – годовые ставки процентов, соответствующие данным интервалам.

Тогда наращенная сумма в конце первого интервала начисления составит

S₁ = P (1 + n₁i₁).

В конце второго интервала:

S₂ = P (1 + n₂i₂)(1 + n₂i₂)

При N интервалах начисления наращенная сумма составит в конце всего периода начисления

(3.4)

Если все интервалы начисления одинаковы и ставка сложных процентов одна и та же, то

S_N = P (1 + n i)^N. (3.5)

Если начисление сложных процентов осуществляется несколько раз в году, то оговаривается номинальная ставка процентов j – годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j/m.

Если срок ссуды составляет n лет, то наращенная сумма будет равна

S _{m n} = P (1 + j/m)^{m n} , (3.6)

. (3.6.1)

Применяя операцию логарифмирования, получаем

(3.6.1)

. (3.6.2)

где mn – общее число интервалов начисления за весь период ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то

S = P (1 + j/m)^{m n}(1 + l j/m), (3.7)

где l – часть интервала начисления;

mn – целое число интервалов начисления.

В России в настоящий период времени наиболее распространенным является начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное. Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью, называются дискретными.

В мировой практике часто применяют непрерывное начисление сложных процентов (т.е. продолжительность интервала начисления стремится к нулю, а m – к бесконечности).

S = Pe ^{j n}, (3.8)

где е = 2,71828…