Решение линейных систем по формулам Крамера. Исследование линейных систем.
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:
где a, b, c, d, e, f – заданные числа; x, y – неизвестные. Числа a, b, d, e – коэффициенты при неизвестных; c, f – свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя основными методами.
Правило Крамера. Используя определители, можно переписать формулы (3):
Формулы (4) называются правилом Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
П р и м е р . Решить систему уравнений
используя правило Крамера.
Р е ш е н и е . Здесь a = 1, b = 1, c = 12, d = 2, e = –3, f = 14 .
Исследование решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, показывает, что в зависимости от коэффициентовуравнений возможны три различных случая:
1) коэффициенты при неизвестных не пропорциональны: a : d ≠ b : e ,
в этом случае система линейных уравнений имеет единственное решение, получаемое по формулам (4);
2) все коэффициенты уравнений пропорциональны: a : d = b : e = c : f ,
в этом случае система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, так как здесь мы имеем фактически одноуравнение вместо двух.
10
Линейные операции над векторами: определения, свойства
Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.
Сложение
векторов. Пусть 
и 
–
два произвольных вектора. Возьмем
произвольную точку О и
построим вектор 
;
затем от точки А отложим
вектор 
.
Вектор 
,
соединяющий начало первого слагаемого
вектора с концом второго, называется суммой этих
векторов и обозначается 
(рис.
1).
Рис. 1
Ту
же сумму можно получить иным способом.
Отложим от точки О векторы
и 
.
Построим на этих векторах как на сторонах
параллелограмм ОАСВ.
Вектор 
–
диагональ параллелограмма – является
суммой векторов
и
(рис.
2).
Рис. 2
Понятие суммы можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых (рис. 3).
Рис. 3
Вычитание
векторов. Разностью 
векторов
и
называется
такой вектор 
,
который в сумме с вектором
дает
вектор
: 
.
Если векторы и привести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому» (рис. 4).
Рис. 4
Таким
образом, если на векторах
и
,
отложенных из общей точки О,
построить параллелограмм ОАСВ,
то вектор
,
совпадающий с одной диагональю, равен
сумме
,
а вектор 
,
совпадающий с другой диагональю, –
разности
(рис.
5).
Рис. 5
Умножение
вектора на число. Произведением вектора
на
действительное число 
называется
вектор
(обозначают 
),
определяемый следующими условиями:
1) 
,
2) 
при 
и 
при 
.
Очевидно,
что при 
.
Построим,
например, векторы 
и 
для
заданного вектора
(рис.
6).
Рис. 6
Из определения следует: два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство :
(2.1)
Свойства линейных операций:
1) 
;
2) 
;
3) 
; 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
; 
;
Пусть
дан вектор
. Ортом вектора
(обозначается 
)
называется вектор единичной длины,
сонаправленный с вектором
.
Очевидно, 
для
любого вектора
.
11