Уравнение прямой, проходящей через точку, перпендикулярно заданному вектору

Пусть даны вектор  , перпендикулярный плоскости Q и точка М₁ (x₁; y₁; z₁), которая лежит на этой плоскости. Представим вектор N направленным отрезком MP . Выберем на плоскости Q произвольную точку M(x; y; z) и назовем ее текущей точкой, а ее координаты (x; y; z) – текущими координатами.

Рассмотрим вектор  . Его координаты равны

(x – x₁); (y – y₁); (z – z₁).

Рис. 1.26. Плоскость

 

Поскольку вектор N перпендикулярен плоскости Q, то он перпендикулярен любой линии, находящейся в этой плоскости. Т.е. вектора N и   перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю.

                                                     (1-61)

Выразим данное скалярное произведение через координаты векторов

A(x – x₁) + B(y – y₁) + C(z – z₁) = 0,                                    (1-62)

где А, В, С – координаты нормального вектора,

         x₁, y₁, z₁ – координаты данной точки,

x, y, z – текущие координаты точек поверхности. 

Равенство (1-62) называется уравнением плоскости, походящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.

После преобразования (1-62) получаем

Ax + By + Cz + D = 0                                               (1-63)

4

Доказать условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости и в пространстве

Теорема. Для перпендикулярности прямых a и b необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a был перпендикулярен направляющему вектору прямой b.

Доказательство этого условия перпендикулярности прямых основано на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярных прямых.

Добавим конкретики.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы уравнения прямой на плоскости некоторого вида, определяющие прямые a и b. Обозначим направляющие векторы прямых а и b как   и   соответственно. По уравнениям прямых a и bможно определить координаты направляющих векторов этих прямых – получаем  и  . Тогда, для перпендикулярности прямых a и b необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие перпендикулярности векторов   и  , то есть, чтобы скалярное произведение векторов   и   равнялось нулю:  .

Итак, необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости имеет вид  , где   и   - направляющие векторы прямых a и b соответственно.

Это условие удобно использовать, когда легко находятся координаты направляющих векторов прямых, а также когда прямым a и b соответствуют канонические уравнения прямой на плоскости или параметрические уравнения прямой на плоскости.

Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

 Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

5