5.3. Выводы

Отметим широкие возможности объектно – ориентированного метода анализа предметной области для проектировании систем и процессов.

Использование в CASE-средствах языка UML дает мощный графический инструмент для анализа динамических и статических свойств системы и помогает удобно проектировать системы и процессов, генерировать шаблоны кодов программных систем и визуализировать готовые для их реинжениринга.

Дальнейшая разработка системных моделей требует привлечения междисциплинарных знаний. UML можно использовать для унификации представлений знаний и для их интеграции с целью повышения адекватности многомодельных представлений сложных систем.

Однако в настоящее время возможности его применения этого метода, так же как и метода структурного анализа, ограничены для использования при анализе больших и сложных систем. В этих целях необходимо использовать методологию экспертного коллективного анализа с применением программно – целевой концепции.

Вопросы для самоконтроля.

1. Методология объектно-ориентированного программирования.

2. Методология объектно-ориентированного анализа и проектирования.

3. Особенности методологии системного анализа и системного моделирования при проектировании информационных и программных систем.

4. Основные положения языка UML.

5. Функциональные возможности языка UML и область применения.

6. Основные диаграммы в UML.

7. Диаграмма вариантов использования.

8. Диаграмма классов.

9. Диаграмма состояний.

10 Диаграмма активности.

11. Диаграмма последовательностей действий.

12. Диаграмма компонент.

13. Диаграмма топологии.

14. Использование методологии для анализа бизнес процессов.

15. CASE средства для моделирования информационных систем.

6. Методы анализа предметной области при нечетких условиях выбора решений

6.1. Нечеткая логика – математические основы

Классические теорию множеств и формальную логику обобщают математическая теория нечетких множеств (fuzzy sets) и нечеткая логика (fuzzy logic). Эти понятия впервые введены Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) в 1965 г., что было вызвано появлением нечетких и приближенных рассуждений при описании процессов и систем.

Примеры нечетких понятий: человек высокого роста; горячая вода; темно-зеленый цвет.

Первоначально были получены результаты в нечетком управлении техническими системами, в построении экспертных систем на нечеткой логике. Такие экспертные системы нашли применение в экономике и медицине. В дальнейшем, с конца 80-х годов, созданы пакеты программ для построения нечетких экспертных систем, а применение нечеткой логики распространилось на финансовые, транспортные системы и производственную сферу.

Начало создания математического аппарата - формализация предметной области; например, формализация определения "горячая вода". Пусть переменная x (область рассуждений) – температура воды в градусах Цельсия, диапазон шкалы от 0 до 100 градусов. Нечеткое множество для понятия "горячая вода" запишем следующим образом:

C={0/0; 0/10; 0/20; 0,15/30; 0,30/40; 0,60/50; 0,80/60; 0,90/70; 1/80; 1/90; 1/100}, где второе число означает элемент множества – температуру воды, а первое – степень соответствия данного элемента понятию “горячая вода”.

Вода с температурой 60º С относится к множеству "горячая" со степенью принадлежности 0,80. Для одних целей вода при этой температуре может быть горячей, для других – нет, в чем и проявляется нечеткость задания множества.

С учетом изложенного, нетрудно понять основные положения математики нечетких множеств, созданной, Л. Заде (1,2).

В обычной теории множеств исходное понятие - принадлежность х А элемента х некоторого обычного множества Х к подмножеству АХ. Эту принадлежность можно описать и характеристической функцией   (х), значение которой указывает, является ли (да или нет) х элементом А:

  (х) = 1, если х А,

  (х) = 0, если х А.

В гуманитарных областях знания такое определение недостаточно в ситуациях, описываемых нечетко определенными понятиями типа "множество богатых людей", "множество хороших законов", "множество чисел значительно больше 100", и т. д. Здесь введенное выше определение (дихотомия функции принадлежности) не разрешает любому элементу одновременно принадлежать или, в некотором понимании, не принадлежать данному множеству. Поэтому, дихотомию функции принадлежности (т.е. определение, что элемент множества обязательно либо принадлежит множеству, либо нет) следует отвергнуть.

Л.Заде в основу теории нечетких множеств положил тезис, что элементы множества, могут обладать общим свойством в различной степени а потому принадлежать данному множеству с различной степенью. При этом высказывание "элемент принадлежит множеству А" требует указания, в какой степени реализуется такая принадлежность. Множество степеней принадлежности может оцениваться на бесконечной шкале действительных чисел от 0 до 1, или на части чисел интервала [0,1], также и на конечной шкале. Например, объект, определяемый выражением А = {(x₁| 0,2), (x₂| 0), (x₃| 0,3), (x₄| 1), (x₅| 0,8)}, где х_i - элемент универсального множества Х, а число после вертикальной черты - значение характеристической функции на этом элементе, будем называть нечетким подмножеством А множества Х.

Это нечеткое подмножество А содержит в малой степени х₁; не содержит х₂; содержит х₃ в несколько большей степени, чем х₂; полностью содержит х₄ и в существенной степени х₅. Итак, А - нечеткое подмножество, если в нем есть хоть один элемент х, который принадлежит А со степенью, отличной от 1.

Определим понятие нечеткого множества строго. Пусть Х – не обязательно счетное множество, и х - его элемент. Тогда нечеткое подмножество А множества Х есть множество упорядоченных пар {(x, µ A(х))} для всякого х_i из множества Х, где µ A(х) - характеристическая функции принадлежности со значениями во множестве М (например, из интервала [0,1]), указывающая степень принадлежности элемента х подмножеству А. Если в М есть только два элемента, а не интервал значений, т.е. М = {0,1}, то "нечеткое подмножество" становится "четким" или обычным подмножеством. Итак, нечеткое подмножество обобщает понятие обычного подмножества.

Например, пусть N - подмножество целых чисел: {0, 1, 2, ...}, и А = {(0| 1), (1| 0,8), (2| 0,6), (3| 0,4), (4| 0,2), (5| 0), ...} - нечеткое подмножество "небольших" натуральных чисел, где функциональные значения µ A(х), где х = 0, 1, 2, ... заданы субъективно. Видно, что 0 полностью принадлежит А, 1 принадлежит А со степенью 0,8, и т.д. Совокупность этих чисел, стоящих за вертикальной чертой (т.е. 0,8, 0,6, 0,4, 0,2, 0.) и является характеристической функцией принадлежности µ A(х).

Существует ряд типовых форм кривых для задания функций принадлежности; наиболее применимы треугольная, трапецеидальная и гауссова функции принадлежности.

Треугольная функция принадлежности определяется тремя числами (a,b,c), и ее значение в точке x вычисляется согласно выражению

и его изображению (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Треугольная и трапецеидальная функции принадлежности.

В случае (b-a)=(c-b) треугольная функция принадлежности симметрична и задается однозначно двумя параметрами из тройки (a,b,c)., а для задания трапецеидальной функции принадлежности нужно четыре числа (a,b,c,d) (рис. 6.1.):

При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности тоже симметрична.

Функция принадлежности гауссова типа двухпараметрическая и описывается формулой

,

где параметр c означает центр нечеткого множества, а σ характеризует отклонение от центра. График функции для σ = 4 приведен на рис. 6.2.

Рис. 6.2. Функция принадлежности гауссова типа.

Определим операции пересечения ∩, объединения U и дополнения - нечетких множеств. Пусть Х - множество и А и В два нечетких подмножества Х. Тогда для каждого х  Х:

A  B, если µ A (х) < µ B (х),

A = B , если µ A (х) = µ B (х).

µ (A U B (х)) = max(µ A (х), µ B (х)),

µ (A ∩ B (х) )= min(µ A (х), µ B (х)),

µ(A’ (х)) = 1- µ A (х),

Рисунок 6.3. – Основные операции над нечеткими множествами.

Например, для единичного множества Е = {(x1| 1), (x2| 1), (x3| 1), (x4| 1); (x5| 1), (x6| 1), }, а для пустого Ǿ = {(x1| 0), (x2| 0), (x3| 0), (x4| 0); (x5| 0), (x6| 0). }. Легко получить и другие известные из теории множеств законы для нечетких множеств.

Пусть А подмножество Е, например:

А = {(x1| 0,2), (x2| 0,7), (x3| 1), (x4| 0); (x5| 0), (x6| 0).}.

Тогда его дополнение будет А’ = {( x1| 0,8), (x2| 0,3), (x3| 0), (x4| 1); (x5| 1); (x6| 1).}.).

Пусть В также подмножество Е, например :

В= {(x1| 0,6), (x2| 0,4), (x3| 0), (x4| 0,1); (x5| 0,3), (x6| 0,7).}.

Тогда верны следующие равенства:

А ∩ Е = А или А ∩ 1 = А;

А U Е = Е или А U 1 = 1 ,

А ∩ Ǿ = Ǿ;

А U Ǿ = А.

С = A U B = {(x1| 0,6), (x2| 0,7), (x3| 1,0), (x4| 0,1); (x5| 0,3), (x6| 0,7).}.

С = A ∩ B ={(x1| 0,2), (x2| 0,4), (x3| 0), (x4| 0); (x5| 0), (x6| 0).}.

Важно, что . А ∩ А’ не равно 1, т.к. А ∩ А’ = {( x1| 0,8), (x2| 0,7), (x3| 1), (x4| 1)}.

Понятие истинности само является нечетким, поэтому используются нечеткие подмножества с нечеткими функциями принадлежности. Если А - нечеткое подмножество универсального множества Х, то значениями функций принадлежности будут нечеткие подмножества из интервала [0,1]. Такие нечеткие подмножества относят к т.н. второму типу. Более строго: нечеткое подмножество А типа 2 в Х характеризуется нечеткой функцией принадлежности µ A(х):

µ A (х): Х → [0,1] ^j .

При этом значение µ A(х) называется нечеткой степенью и является нечетким подмножеством в [0,1], а в качестве j берется также [0,1]. Тогда, если нечеткое подмножество типа 1 задано функцией принадлежности µ A(х): Х→[0,1], то подмножество типа 2 задается функцией принадлежности µ A(х): Х→F([0,1]), где

F([0,1]) = {f: [0,1] → [0,1]}. Это значит, что функция принадлежности элементов подмножества к множеству сама может быть нечеткой. Аналогично определяются нечеткие подмножества типа 3, 4 и т.д.

Для работы с нечеткими рассуждениями и выводами введены понятия нечеткой и лингвистической переменных.

Лингвистическая переменная. (Linguistic variable) принимает значения понятий (фраз) естественного языка и используется при описании объектов и процессов нечеткими множествами; так, лингвистическая переменная “Температура” может принимать значения “горячо”, “тепло”, “холодно”.

Нечеткая переменная описывается тройкой (N,X,A), где N - название переменной, X – область рассуждений (универсальное множество), A – нечеткое множество на X. Лингвистическая переменная принимает значения нечетких переменных, т.е. нечеткая переменная занимает уровень ниже лингвистической переменной. Структура лингвистической переменной:

• название N;

• множество значений ( базовое терм-множество) T. Элементы T суть названия нечетких переменных, обычно термов в лингвистической переменной не более 7;

• универсальное множество X;

• синтаксическое правило G для генерирации новых термов из слов естественного или формального языка;

• семантическое правило P, ставящее в соответствие каждому значению лингвистической переменной нечеткое подмножество множества X.

При аналие предметной области при создании ИС с нечеткими параметрами определяют эти переменные.

Нечеткое понятие "Температура воды" совпадает с названием лингвистической переменной (N). Ее базовое терм-множество T имеет три нечетких переменных: "Низкая", "Средняя", "Высокая"; в области рассуждений в виде X=[0;100] (градусов) построим функции принадлежности для каждого терма из T.

Изображения функций принадлежности для каждого терма из T обычно даются на одном графике. На рис. 6.4. приведен пример лингвистической переменной "Температура воды",

Рис.6.4. Описание лингвистической переменной "Температура воды".

В основе нечеткого логического вывода лежит база правил, содержащая функции принадлежности для лингвистических термов и нечеткие высказывания в форме "Если-то". Требуется соблюдение ряда условий:

• Есть не менее одного правила для каждого лингвистического терма выходной переменной.

• Для каждого терма входной переменной есть хотя бы одно правило, в которое этот терм входит как предпосылка (левая часть правила).

Логический вывод включает до 4 этапов: приведение к нечеткости (фазификация), нечеткий вывод, композиция и приведение к четкости (дефазификация), рис. 6.5.).

Рис. 6.5. Этапы нечеткого логического вывода.

Алгоритмы нечеткого вывода различаются главным образом видом используемых правил, логических операций и разновидностями методов дефазификации. Рассмотрим подробнее нечеткий вывод по наиболее распространенному механизму Эбрахима Мамдани, где использована минимаксная композиция нечетких множеств.