Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Поскольку в правой части присутствуют отрицательные значения, умножим соответствующие строки на (-1).
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 4x1 + 5x3 при следующих условиях-ограничений.
2x1 + x2 + x3≥8
x1 + 2x3≥3
- 2x2 + x3≥2
- x1 + 2x3≤2
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x4 со знаком минус. В 2-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x5 со знаком минус. В 3-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x6 со знаком минус. В 4-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x7.
2x1 + 1x2 + 1x3-1x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 = 8
1x1 + 0x2 + 2x3 + 0x4-1x5 + 0x6 + 0x7 = 3
0x1-2x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5-1x6 + 0x7 = 2
-1x1 + 0x2 + 2x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 = 2
Введем искусственные переменные x: в 1-м равенстве вводим переменную x8; в 2-м равенстве вводим переменную x9; в 3-м равенстве вводим переменную x10;
2x1 + 1x2 + 1x3-1x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 + 1x8 + 0x9 + 0x10 = 8
1x1 + 0x2 + 2x3 + 0x4-1x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8 + 1x9 + 0x10 = 3
0x1-2x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5-1x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 + 1x10 = 2
-1x1 + 0x2 + 2x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 + 0x8 + 0x9 + 0x10 = 2
Для постановки задачи на минимум целевую функцию запишем так:
F(X) = 4x1+5x3+Mx8+Mx9+Mx10 → min
За использование искусственных переменных, вводимых в целевую функцию, накладывается так называемый штраф величиной М, очень большое положительное число, которое обычно не задается.
Полученный базис называется искусственным, а метод решения называется методом искусственного базиса.
Причем искусственные переменные не имеют отношения к содержанию поставленной задачи, однако они позволяют построить стартовую точку, а процесс оптимизации вынуждает эти переменные принимать нулевые значения и обеспечить допустимость оптимального решения.
Из уравнений выражаем искусственные переменные:
x8 = 8-2x1-x2-x3+x4
x9 = 3-x1-2x3+x5
x10 = 2+2x2-x3+x6
которые подставим в целевую функцию:
F(X) = 4x1 + 5x3 + M(8-2x1-x2-x3+x4) + M(3-x1-2x3+x5) + M(2+2x2-x3+x6) → min
или
F(X) = (4-3M)x1+(M)x2+(5-4M)x3+(M)x4+(M)x5+(M)x6+(13M) → min
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
2 |
1 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
-2 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x8, x9, x10, x7,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,0,0,0,2,8,3,2)
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
x8 |
8 |
2 |
1 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
x9 |
3 |
1 |
0 |
2 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
x10 |
2 |
0 |
-2 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
x7 |
2 |
-1 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
F(X0) |
13M |
-4+3M |
-M |
-5+4M |
-M |
-M |
-M |
0 |
0 |
0 |
0 |
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент .
3. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3
и из них выберем наименьшее:
min (8 : 1 , 3 : 2 , 2 : 1 , 2 : 2 ) = 1
Следовательно, 4-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
min |
x8 |
8 |
2 |
1 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
8 |
x9 |
3 |
1 |
0 |
2 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
11/2 |
x10 |
2 |
0 |
-2 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
x7 |
2 |
-1 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
F(X1) |
13M |
-4+3M |
-M |
-5+4M |
-M |
-M |
-M |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы.
Вместо переменной x7 в план 1 войдет переменная x3 .
Строка, соответствующая переменной x3 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x7 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=2
На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.
В остальных клетках столбца x3 плана 1 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x3 и столбец x3 .
Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (2), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
x 7 |
x 8 |
x 9 |
x 10 |
8-(2 • 1):2 |
2-(-1 • 1):2 |
1-(0 • 1):2 |
1-(2 • 1):2 |
-1-(0 • 1):2 |
0-(0 • 1):2 |
0-(0 • 1):2 |
0-(1 • 1):2 |
1-(0 • 1):2 |
0-(0 • 1):2 |
0-(0 • 1):2 |
3-(2 • 2):2 |
1-(-1 • 2):2 |
0-(0 • 2):2 |
2-(2 • 2):2 |
0-(0 • 2):2 |
-1-(0 • 2):2 |
0-(0 • 2):2 |
0-(1 • 2):2 |
0-(0 • 2):2 |
1-(0 • 2):2 |
0-(0 • 2):2 |
2-(2 • 1):2 |
0-(-1 • 1):2 |
-2-(0 • 1):2 |
1-(2 • 1):2 |
0-(0 • 1):2 |
0-(0 • 1):2 |
-1-(0 • 1):2 |
0-(1 • 1):2 |
0-(0 • 1):2 |
0-(0 • 1):2 |
1-(0 • 1):2 |
2 : 2 |
-1 : 2 |
0 : 2 |
2 : 2 |
0 : 2 |
0 : 2 |
0 : 2 |
1 : 2 |
0 : 2 |
0 : 2 |
0 : 2 |
(0)-(2 • (-5+4M)):2 |
(-4+3M)-(-1 • (-5+4M)):2 |
(-M)-(0 • (-5+4M)):2 |
(-5+4M)-(2 • (-5+4M)):2 |
(-M)-(0 • (-5+4M)):2 |
(-M)-(0 • (-5+4M)):2 |
(-M)-(0 • (-5+4M)):2 |
(0)-(1 • (-5+4M)):2 |
(0)-(0 • (-5+4M)):2 |
(0)-(0 • (-5+4M)):2 |
(0)-(0 • (-5+4M)):2 |
Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
x8 |
7 |
21/2 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
-1/2 |
1 |
0 |
0 |
x9 |
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
x10 |
1 |
1/2 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
-1/2 |
0 |
0 |
1 |
x3 |
1 |
-1/2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1/2 |
0 |
0 |
0 |
F(X1) |
5+9M |
-61/2+5M |
-M |
0 |
-M |
-M |
-M |
21/2-2M |
0 |
0 |
0 |
Итерация №1.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент .
3. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1
и из них выберем наименьшее:
min (7 : 21/2 , 1 : 2 , 1 : 1/2 , - ) = 1/2
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
min |
x8 |
7 |
21/2 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
-1/2 |
1 |
0 |
0 |
24/5 |
x9 |
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
1/2 |
x10 |
1 |
1/2 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
-1/2 |
0 |
0 |
1 |
2 |
x3 |
1 |
-1/2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1/2 |
0 |
0 |
0 |
- |
F(X2) |
5+9M |
-61/2+5M |
-M |
0 |
-M |
-M |
-M |
21/2-2M |
0 |
0 |
0 |
0 |