Теоремы о числовых характеристиках

Теорема 1 (теорема сложения математических ожиданий).

Математическое ожидание суммы двух любых случайных величин и равно сумме их математических ожиданий:

.

▲ Докажем теорему в непрерывном случае, в дискретном случае доказать самостоятельно.

Из обобщения ОТМО на двумерный случай при имеем:

■.

По индукции теорема 1 обобщается на сумму любого конечного числа случайных величин:

.

Теорема 2 (теорема умножения математических ожиданий).

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин и равно произведению их математических ожиданий:

.

▲ Докажем теорему в непрерывном случае, в дискретном случае доказать самостоятельно.

Если непрерывные случайные величины и являются независимыми, то . Поэтому из обобщения ОТМО на двумерный случай при имеем:

■.

По индукции теорема 2 обобщается на произведение любого конечного числа независимых (в совокупности) случайных величин:

.

Некоррелированность случайных величин и ее связь с независимостью

Определение. Случайные величины и , для которых корреляционный момент , называются некоррелированными.

Учитывая, что

,

получаем: случайные величины и являются некоррелированными тогда и только тогда, когда .

Отсюда и из теоремы 2 вытекает, что из независимости случайных величин всегда следует их некоррелированность. Обратное, вообще говоря, неверно. Можно только сказать, что если случайные величины являются коррелированными, так, что , то они являются зависимыми.

Пример.

Равномерное распределение в круге .

Ранее были найдены одномерные плотности вероятностей координат вектора :

и установлено, что случайные величины и являются зависимыми, так как .

Найдем корреляционный момент СВ и .

в силу нечетности подинтегральной функции и симметричности относительно нуля пределов интегрирования.

По аналогичным соображениям Найдем .

также в силу нечетности подинтегральной функции.

Таким образом, и, следовательно, случайные величины и являются зависимыми, но некоррелированными.

Понятие некоррелированности случайных величин играет важную роль в теории вероятностей. Подтверждением тому является следующая теорема.

Теорема 3 (теорема сложения дисперсий).

Для любых действительных чисел и любых случайных величин и , имеющих конечную дисперсию

.

В частности, если и случайные величины и являются некоррелированными, то имеет место свойство аддитивности дисперсии:

.

▲ Доказательство теоремы основано только на свойствах математического ожидания и определении корреляционного момента :

.■.

По индукции утверждение теоремы 3 обобщается на линейную комбинацию любого конечного числа случайных величин следующим образом.

Для любых действительных чисел и случайных величин , имеющих конечную дисперсию

.

В частности, если все , а случайные величины являются попарно некоррелированными ( ), то имеет место свойство аддитивности дисперсии:

.